Utilité de la théorie des ensembles

[Alphasaft]

Premièrement : bonjour, c'est une salutation qui se perd beaucoup trop dans ce bas monde.

Je me demandais simplement (je ne suis pas la pour critiquer, c'est un de mes - étranges - passe-temps et prends du plaisir à travailler dessus) à quoi pouvait bien servir certains éléments de la théorie des ensembles - anneaux, etc - dans la vie, courante ou en recherche, peu m'importe.
Pour d'autres domaines des mathématiques, c'est clair (comme les statistiques, dont l'utilité n'est plus à démontrer), mais l'intérêt de cette branche précise des mathématiques (qui paradoxalement est ma préférée) reste assez obscure.

Pourriez vous éclairer ma lanterne ?
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[Seirios]

Bonjour,

J'ai l'impression que tu fais référence aux structures algébriques plutôt qu'à la théorie des ensembles (qui est un domaine bien spécifique). L'une des raisons pour avoir introduit les notions de groupes, anneaux, corps, etc. est économique : plutôt que de démontrer les mêmes théorèmes encore et encore pour différents objets, on introduit un cadre formel pour tous les englober et on ne démontre qu'un seul théorème, qui sera automatiquement vérifié pour tous les objets à la fois (incluant ceux qu'on avait initialement en tête, mais aussi bien d'autres auxquels on a pas encore pensé). Cette abstraction a bien d'autres vertus.

Un cas pratique. Disons qu'on souhaite résoudre l'équation diophantienne (c'est-à-dire qu'on cherche les solutions entières). Pour cela, il suffit de remarquer que et d'en déduire que doivent faire partie des diviseurs de . Une petite distinction de cas permet de trouver toutes les solutions. Mais que dire de l'équation ? Ici, n'est pas un carré, donc, lorsqu'on écrit , on n'obtient pas le produit de deux entiers. Mais il se trouve qu'on sait faire de l'arithmétique dans les anneaux, donc il suffit d'appliquer le même raisonnement que précédemment dans plutôt que dans et le tour est joué !

Le même genre de phénomène se retrouve avec la résolution des équations polynomiales de degré trois dans , dont on arrive à trouver les solutions réels en passant par .

[erik]

à quoi pouvait bien servir certains éléments de la théorie des ensembles - anneaux, etc - dans la vie, courante

Il faut bien comprendre que - contrairement à ce qu'on peut penser (au moins jusqu'au lycée) - les mathématiques ne sont pas faites/développées pour servir à quelque chose dans la vie courante.
Il est vrai qu'une infime partie des maths est utile dans certains domaines scientifiques - voir dans la vie courante (enfin dans la vie courante c'est plus juste de l'arithmétique) .
Mais la plus grande part des maths ne sont pas conçues en vu d'une quelconque application. c'est juste un "jeu" de manipulation de concepts à partir de règles qu'on se fixe.
Certain éléments des maths n'ont même aucun rapport avec le "réel" : le nombre Pi avec sont infinité de décimales ne peut être mesuré dans la nature, les nombres transfinis ne permettent pas à ta boulangère de te rendre la monnaie, le Paradoxe de Banach-Tarski est impossible à "mettre en œuvre", 99.99 % des théorèmes de la théorie des nombres ne servent à rien (on ne sait pas si e+pi est un nombre transcendant ou pas, le jour ou on le saura le destin de l'humanité ne sera pas changé pour autant).

Alors pourquoi faire des maths ? Le mathématicien https://Jean Dieudonné répondait : pour l'honneur de l'esprit humain.

Et puis les maths c'est rigolo ....

[MissJenny]

Alors pourquoi faire des maths ? Le mathématicien https://Jean Dieudonné répondait : pour l'honneur de l'esprit humain.

n'est-ce pas plutôt Jacobi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

à quoi pouvait bien servir certains éléments de la théorie des ensembles - anneaux, etc - dans la vie, courante ou en recherche, peu m'importe.

Comme déjà dit, l'algèbre abstraite, n'est pas la théorie des ensembles, sinon, on peut répondre :

1) A rien, c'est pour cela que c'est beau
2) A conserver les langoustes dont les mathématiciens sont friands dirait Schwartz.
3) Parce qu'elles sont là dirait G. Mallory, ou n'importe quel platonicien
4) etc

[erik]

n'est-ce pas plutôt Jacobi ?

Oui en effet c'est bien de Jacobi, Dieudonné à reprit l'expression pour en faire le titre d'un de ses livres.
Merci pour le correctif.

[Alphasaft]

D'accord, merci pour vos réponses ! Je n'aime pas trop les langoustes personnellement, mais puisqu'il le faut...

[Seirios]

Alors pourquoi faire des maths ? Le mathématicien https://Jean Dieudonné répondait : pour l'honneur de l'esprit humain.

Et puis les maths c'est rigolo ....

La question n'est pas de savoir pourquoi on étudie les mathématiques, mais pourquoi on étudie les structures algébriques telles que les anneaux. Ce n'est pas du tout la même chose ! Parmi tous les objets mathématiques qu'il est possible de construire, pourquoi choisir d'étudier ceux-là en particulier ? La réponse n'est pas évidente, et elle requiert une étude approfondie de l'évolution des concepts correspondant au cours de l'histoire. Par exemple, la formalisation de la notion d'anneau et la nécessité d'en faire un sujet d'étude indépendant se sont étalées sur plusieurs décennies. Si l'on étudie les anneaux, et pas n'importe quelle structure définie par un système d'axiomes aléatoire, il y a une raison !

[GBo]

Les Anneaux je ne sais pas mais le Corps commutatif dit de Galois (Evariste) par exemple, ça je sais: sa théorie sert concrètement dans les technologies télécoms et de l'information.