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Bijection



  1. #1
    Marmus1021

    Bijection


    ------

    Bonjour !

    Dans un exercice on a f:E —> E et g:E —> E, telles que g•f est bijective.
    Montrer que f et g ne sont pas nécessairement bijectives.

    J’ai essayé d’exhiber un contre exemple mais je n’y arrive pas, et en faisant des diagrammes sagittaux je n’arrive pas à trouver de cas où f et g ne sont pas bijectives...
    Voilà si vous avez des idées de contre exemples je suis preneur

    Merci beaucoup !

    -----

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  4. #2
    pm42

    Re : Bijection

    f = arctan, g = tan ?
    Ou dans N, f = multiplication par 2, g = on divise les pairs par 2 et les impairs sont envoyé sur 0.
    Dernière modification par pm42 ; 27/09/2021 à 17h51.

  5. #3
    Médiat

    Re : Bijection

    Bonjour,

    C'est possible si f n'est pas surjective et g non injective et que E est infini
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Bijection

    Bonjour.

    Tu peux essayer de prendre des fonctions numériques simples, avec g surjective (car gof l'est, donc tout élément de E est une image par g) mais pas injective et f injective (conséquence de gof injective), non surjective, et telle que f(E) est un ensemble dont l'image par g est quand même E.
    Je te laisse voir pourquoi f doit être injective, et pourquoi il faut qu'aucune des deux ne soit bijective :
    Exercice 1 : Montrer que si gof est injective, alors f est injective.
    Exercice 2 : Montrer que si gof est bijective, et si f est bijective, alors g est bijective.
    Exercice 3 : Montrer que si gof est bijective, et si g est bijective, alors f est bijective.

    Cordialement.

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