Bonjour !
Dans un exercice on a f:E —> E et g:E —> E, telles que g•f est bijective.
Montrer que f et g ne sont pas nécessairement bijectives.
J’ai essayé d’exhiber un contre exemple mais je n’y arrive pas, et en faisant des diagrammes sagittaux je n’arrive pas à trouver de cas où f et g ne sont pas bijectives...
Voilà si vous avez des idées de contre exemples je suis preneur
Merci beaucoup !
f = arctan, g = tan ?
Ou dans N, f = multiplication par 2, g = on divise les pairs par 2 et les impairs sont envoyé sur 0.
Dernière modification par pm42 ; 27/09/2021 à 17h51.
Bonjour,
C'est possible si f n'est pas surjective et g non injective et que E est infini
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour.
Tu peux essayer de prendre des fonctions numériques simples, avec g surjective (car gof l'est, donc tout élément de E est une image par g) mais pas injective et f injective (conséquence de gof injective), non surjective, et telle que f(E) est un ensemble dont l'image par g est quand même E.
Je te laisse voir pourquoi f doit être injective, et pourquoi il faut qu'aucune des deux ne soit bijective :
Exercice 1 : Montrer que si gof est injective, alors f est injective.
Exercice 2 : Montrer que si gof est bijective, et si f est bijective, alors g est bijective.
Exercice 3 : Montrer que si gof est bijective, et si g est bijective, alors f est bijective.
Cordialement.
