Bijection

[invitec8b2c18a]

Bonjour,
Je suis un élève de secondaire 4 avec un prof de maths assez... savant. Je dois prouver qu'il existe une bijection entre [0,5] et [12,60]. La preuve, je l'ai faite. J'ai prouvé que la fonction que j'ai construite avec Domf∈[0,5] et Imaf∈[12,60] est bijective en montrant qu'elle est injective et surjective. La règle est: f(x)=9,6x+12. Mais il me reste deux autres choses à prouver: si x est dans l'ensemble de départ, alors y est dans l'ensemble d'arrivée; si y est dans l'ensemble d'arrivée, alors x est dans l'ensemble de départ. En d'autres mots, si x∈[0,5], y∈[12,60]; si y∈[12,60] , alors x∈[0,5]. J'ai dit que "du point de vue règle, chaque « x » correspond à une et une seule valeur « y » en effectuant : 9,6x+12. Chaque « y » correspond à une et une seule valeur « x » en effectuant : (y-12)÷9,6. " et mon prof a dit que ce n'est pas bon... De l'aide? Si possible, faites-le simple, votre explication (je suis en secondaire 4 xp)

Merci d'avance!
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[Seirios]

Bonjour,

En d'autres mots, si x∈[0,5], y∈[12,60];

Dit encore autrement, tu cherches à montrer que, si , alors . À partir de l'expression de , tu ne vois pas une manière élémentaire de raisonner ?

si y∈[12,60] , alors x∈[0,5].

Ta fonction est définie sur , donc il n'y rien à prouver de ce côté là.

[gg0]

Bonjour.

Je trouve bizarre de devoir montrer ces propriétés après avoir prouvé que c'est une bijection ! Soit c'est bien une application de [0;5] dans [12;60] et il n'y a plus rien à prouver, soit on ne sait pas encore que c'est une application de [0;5] dans [12;60] et on n'a pas pu parler de bijection. On peut parler d'injectivité (fonction injective), mais pas de surjectivité, qui nécessite d'avoir un ensemble de définition (ou de départ) et un ensemble d'arrivée.

A priori, le schéma de preuve est
* définir une application de [0;5] dans [12;60]
* prouver qu'elle est injective et surjective.

Cordialement.

[invitec8b2c18a]

Merci aux deux réponses!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8b2c18a]

J'ai lu des choses sur le théoreme de la bijection... ça ressemble un peu à ce que vous dites. Merci!! Ça me guide sur la bonne voie

[invitec8b2c18a]

Et j'avoue que c'est bizarre, mais mon prof de maths veut quand même que je prouve "si x est dans l'ensemble de départ, alors y est dans l'ensemble d'arrivée" et vice versa. Dans mon cas, EDépart=[0,5], EArrivée=[12,60]. En tout cas, j'ai une petite idée concernant la façon dont je vais procéder....

[gg0]

Oui, c'est la base pour dire que l'application est bien définie : "si x est dans l'ensemble de départ, alors y est dans l'ensemble d'arrivée"; et dit d'une façon un peu malsaine, la définition de la surjectivité : "et vice versa".
Il ne reste alors plus qu'à prouver l'injectivité, qui est immédiate dans ce cas.

Un exemple pour te faire voir pourquoi c'est nécessaire. On prend la fonction f de R⁺ dans R⁺ définie par. Il est facile de voir qu'elle est injective (f(x)=f(y) donne immédiatement x=y en élevant au carré et simplifiant) et surjective (tout y de R⁺ est l'image de y²+1 qui est bien dans R⁺). mais ce n'est pas une bijection de R⁺ dans R⁺ pour la bonne et simple raison qu'elle n'est pas définie sur R⁺ : les réels entre 0 et 1 n'ont pas d'image.

Cordialement.