Bonjour,
Soit E un espace de Banach et soit h:E-->R une application linéaire continue. On considère l'application f:E-->E définie par f(x)=h(x)x
j'ai monté que f était de classe C^1
On suppose que h n'est pas identiquement nulle et on définit V le sous ensemble de E par:
V={x dans E,h(x)>0} V est ouvert
Comment montrer que la restriction de à V est une bijection de V dans V?
merci de votre aide
Bonjour,
La première chose, m\^eme si cela ne vous est pas demandé, est de justifier que V est non vide. Ensuite, vous pouvez essayer de trouver directement l'application réciproque g de f restreinte à V. Pour cela remarquez que si y est donné dans V, trouver x=g(y) revient à résoudre l'équation h(x)x=y. Que vaut h(x) en fonction de h(y) ? puis on en déduit g(y)=x, ce qui vous donne g. N'oubliez pas de vérifier que l'application g trouvée convient (ie c'est une application de V dans V, et que fog=gof=identité).
Cordialement.
bah non, il n'y a pas à montrer que V est non vide. Si V est vide, la restriction de n'importe quelle application à V est une bijection.
comment fais-t-on pour trouver h(y)? la seule info que j'ai c'est que h(x)>0 du coup h(y) aussi
