exercice d'algèbre

[math47]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire mais j'ai un problème avec les questions 2 et 4...

Voici l'énoncé :
1. Donner la liste des éléments de Z/7Z qui sont des carrés. Combien y en a-t-il ?
2. Soit a un élément de Z/7Z. Quel est le cardinal de l’ensemble {−x² + a | x ∈ Z/7Z} ?
3. En déduire que, pour un a donné dans Z/7Z, l’équation x²+y² = a a toujours une solution, où x, y sont dans Z/7Z.
4. Donner toutes les solutions de l’équation u² + v² = −1, avec u, v ∈ Z/7Z.

Voici ce que j'ai fait :
1. Il y en a 4 : 0, 1, 2 et 4
2. Card(x²) = 4 donc Card(-x²) = 4 et j'ai l'intuition que Card(-x²+a) = 4 également mais je ne vois pas comment le prouver...
3. Si on part du principe que Card(-x²+a) = 4 et Card(x²) = 4, et que Card(Z/7Z) = 7 alors les ensembles {-x²+a| x ∈ Z/7Z} et {x²| x ∈ Z/7Z} ne peuvent pas être disjoints donc x²+y²=a a toujours une solution pour x et y dans Z/7Z.
4. Je ne vois pas comment trouver la solution...

Merci d'avance,
Bonne soirée
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[MissJenny]

2. Card(x²) = 4 donc Card(-x²) = 4 et j'ai l'intuition que Card(-x²+a) = 4 également mais je ne vois pas comment le prouver...

ce serait le cas si l'application x --> x+a (une translation) était bijective. Que sait-on des translations dans un groupe?

[math47]

une translation c'est pareil qu'une transposition ?

[math47]

Bonjour,

Voici la correction de la question 4 :


Je ne comprends pas comment on trouve les résultats dans la troisième ligne, pourriez-vous m'expliquer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Je n'ai pas de propriété sur les translations dans un groupe...

[albanxiii]

Bonjour,

Bin, c'est facile, il faut compter modulo 7, par exemple (j'ai un doute sur la légalité mathématique du premier membre, mais c'est pour vous faire comprendre).

Vous pouvez partir de .

[math47]

Oh oui d'accord merci beaucoup