Bonjour à tous !
Je suis actuellement en train d'aider un étudiant en première année à l'université et qui travaille actuellement sur les complexes. Il lui est demandé de trouver toutes les solutions de l'équation.
Je parviens à obtenir la solution, mais la méthode pour y arriver me semble disons "moins procédurale" que ce que j'avais l'habitude de faire au lycée et en première année à l'université. Je me demande s'il y a donc moyen de résoudre l'équation plus simplement. Voici mon raisonnement :
Posons
On peut donc remplacer :
La partie réelle et la partie imaginaire devant être nulles et en réarrangeant l'équation, on obtient un système :
De là, on peut se servir de la première équation en prenant a comme une variable et b comme un paramètre. On a donc une équation du second degré paramétrique. Les valeurs de a qui satisfont alors l'équation sont
En injectant la première solution dans la deuxième équation, on se retrouve avec l'équation
On peut alors remplacer b par ces valeurs dans nos équations et nous trouvons donc que les solutions de notre équation sont
De là on peut trouver les valeurs de z en passant notamment par la forme exponentielle.
Trouvez-vous une méthode plus simple et moins "artisanale" ? Bonne soirée
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