Montrer qu’un ensemble est infini

[Marmus1021]

Bonsoir !
Je suis tombé sur cet exercice, et j’aimerais savoir si ma solution fonctionne..
Soit f une fonction bijective de N dans N. Montrer que E={n∈N tels que f(n)≥n} est infini.

J’ai essayé de construire une suite (u_n) a valeurs dans E telle que cette suite soit injective. En effet, par résultat de cours, on aurait alors E infini.

Et donc je l´ai construite ainsi :
U : N —> E
n |—> f(n)-1

Car alors on a bien f(n)≥f(n)-1, donc (u_n) est à valeurs dans E, et elle est injective car f est bijective.

Est-ce que j’ai le droit de poser comme ça une suite qui dépend de f ?

Voilà si il y a des problèmes de logique dites le moi svp, et merci beaucoup d’avoir lu
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[gg0]

Bonjour.

"on a bien f(n)≥f(n)-1, donc (u_n) est à valeurs dans E" ?? Je ne vois pas d'où sort ce "donc". prenons n=5. On a bien f(5)≥f(5)-1; en quoi cela prouve que la suite est dans E ???
Rappel : les éléments de E sont les entiers tels que f(n)≥n. Tu prends f(n)-1, il est dans E si f(f(n)-1) ≥f(n)-1.

Plus gênant : f étant une bijection, il y a un n tel que f(n)=0. Tu crois vraiment que f(n)-1 est dans E ??

Bon, je n'ai pas réfléchi à une solution à ton exercice, mais ce que tu as fait ne répond pas au problème.

Cordialement.

[pm42]

Et surtout, cela se fait assez facilement par l'absurde.

[Médiat]

Supposons que E soit fini et posons son cardinal, , il est facile de montrer que et donc que , ce qui est contraire aux hypothèses

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

faute de frappe, n'est pas le cardinal, mais le max de , cela devait être clair avec la suite, mais mieux en le disant