Surface et volume d'une bouteille de Klein

[inviteceac4d75]

Bonjour, comment calcule-t-on la surface et le volume d'une bouteille de Klein ?
Merci d'avance si vous y répondez.
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[gg0]

Bonjour.

Sans être spécialiste, je vois bien ce que signifie "la surface d'une bouteille de Klein", mais il faudrait définir clairement ce que tu appelles "le volume".

Sinon, une fois cela éclairci, il faut disposer d'une équation de la surface et appliquer, morceau par morceau, les méthodes habituelles basées sur le calcul intégral.

Et ça n'a rien à voir avec les mathématiques du collège et du lycée.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Qielque chose me dit que FlocondeKoch ne veut pas calculer mais plutôt définir.

Pour la surface, gg0 a donner la méthode.

Pour le volume, une bouteille de Klein n'a pas d'intérieur puisqu'on peut passer continument de n'importe quel point à n'importe quel autre point de l'espace (où se trouve plongée la bouteille) sans traverser la surface. Par conséquent, el volume intérieur est zéro. Ca au moins c'est facile à calculer. Maintenant on peut chercher une autre définition du genre rajouter une enveloppe pour avoir un volume intérieur et le calcul est alors celui de cette enveloppe et plus ou moins compliqué selon sa forme.

[gg0]

Il faut noter qu'on peut définir deux "surfaces" de la bouteille. Concrètement, on peint la surface d'une couche uniforme, puis on divise le volume de peinture par son épaisseur. Ça donne une aire, une "surface". Mais comme on a peint des deux côtés de la surface de l'objet, on peut considérer qu'on a peint deux fois la surface (c'est ce qu'on dirait pour une feuille plane), et donc que l'aire est la moitié de ce qu'on a calculé précédemment.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Et ça n'a rien à voir avec les mathématiques du collège et du lycée.

Je déplace le fil en mathématiques du supérieur.

[Deedee81]

Notons d'ailleurs qu'une bouteille normale (pas une bouteille de Klein) mais ouverte (goulot sans bouchon) a le même problème : pas de volume au sens strict et "double" surface.

Bien sûr, dans la vie courante on parlera quand même de bouteille d'un litre par exemple. Mais au sens mathématique strict, non, non, elle n'a pas de volume !!!!

Mais on peut définir son volume par son espace intérieur en mettant simplement.... un bouchon. Et on peut faire de même avec la bouteille de Klein par exemple de manière assez évidente avec la figure dans :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Bouteille_de_Klein
Et même de manière rigoureuse en définissant la plus petite enveloppe convexe.

Mais de fait le calcul est assez difficile (intégrales tout ça). Par contre avec un modèle physique, on remplit d'un liquide et hop

[Deedee81]

Et même de manière rigoureuse en définissant la plus petite enveloppe convexe.

Heu.... non, pas si simple, mais l'idée est là

[inviteceac4d75]

Je vous remercie. Je ne sais pas pourquoi je n'y ai pas pensé mais la bouteille de Klein n'a pas de volume, c'est un fait. Pour ce qui est de la surface, à l'aide d'un logiciel dessinant des graphes en 3D, on peut avec des intégrales, simuler cette dernière.

[gg0]

A noter encore : "la bouteille de Klein" ne veut rien dire, il y a une infinité de bouteilles de Klein de dimensions relatives très diverses. Sans compter les différents espaces dans lesquels on la définit. J'imagine qu'il s'agissait du cas dimension 3, c'est dans cet esprit que j'avais répondu.

[Deedee81]

Je confirme que sur ordi c'est pas trop difficile à calculer numériquement (enfin, ça nécessite de pisser pas mal de code, disons "abordable").

A noter encore : "la bouteille de Klein" ne veut rien dire, il y a une infinité de bouteilles de Klein de dimensions relatives très diverses. Sans compter les différents espaces dans lesquels on la définit. J'imagine qu'il s'agissait du cas dimension 3, c'est dans cet esprit que j'avais répondu.

Moi aussi.

[MissJenny]

La bouteille de Klein étant un objet topologique n'a pas de volume ni de surface propres.

[Deedee81]

La bouteille de Klein étant un objet topologique n'a pas de volume ni de surface propres.

Ah oui, à strictement parler tu as raison. Mais ne peut-on pas parler de l'objet géométrique "tracé" dans un certain espace ? (vraie question pour laquelle j'aurais tendance à ne pas me fier à Wikipedia)

[gg0]

Heu ... ce n'est pas seulement un "objet topologique" au sens où il n'aurait pas de réalisation géométrique. D'ailleurs, Klein ne faisait pas de topologie, discipline apparue bien après. Mais il est vrai que dans un espace de dimension suffisante, comme on ne peut distinguer l'intérieur de l'extérieur, son volume n'existe pas. Je suis plus dubitatif sur son aire, car elle est clairement limitée. Et comme on la construit à partir de surfaces rectifiables ...
NB : la sphère aussi est un objet topologique.

Cordialement.

NB : Au départ, on parlait du modèle 3D de la bouteille de Klein.

[MissJenny]

Heu ... ce n'est pas seulement un "objet topologique" au sens où il n'aurait pas de réalisation géométrique.

oui bien sûr mais l'aire va dépendre du plongement, donc la bouteille de Klein en elle-même n'a pas d'aire. Comme la sphère n'en a pas, mais une sphère de rayon R a une aire.

[MissJenny]

pour appuyer mon propos, voici une photo d'une réalisation de la bouteille de Klein que j'ai eue longtemps sur mon bureau. Elle a une forme pas habituelle mais valide.

[Deedee81]

oui bien sûr mais l'aire va dépendre du plongement, donc la bouteille de Klein en elle-même n'a pas d'aire. Comme la sphère n'en a pas, mais une sphère de rayon R a une aire.

Ca c'est pas grave. Flocon ne parlait pas d'une aire/volume unique à calculer. C'est clairement sous-entendu pour une réalisation particulière ("d'une bouteile.." et pas "de la bouteille"). Un peu comme une sphère particulière (bien que là c'est plus facile à préciser, comme tu le dis il y a juste le rayon à donner).

[polo974]

en fait la bouteille de Klein en 3D dans sa réalisation la plus proche de l'objet mathématique est fermée, car le col devrait traverser le fût sans y faire de trou, donc le col devrait être bouché à cet endroit...

[gg0]

C'est amusant, car très jeune j'ai appris que "le volume de la sphère est ". On m'aurait menti ?

Cordialement.

[MissJenny]

mais tu vois bien que tu ne peux pas donner une formule analogue pour la bouteille de Klein. Celle dont j'ai montré la photo est composée de cylindres, couronne circulaire et tronc de cône, mais une autre aura une panse en forme de sphère et on peut imaginer nombre d'autres formes.

[gg0]

Oui, c'est ce que je disais au message #9.
Tu pars au quart de tour !!

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Toujours lire attentivement un fil de discussion avant d'y répondre (surtout qu'ici il n'y avait qu'une douzaine de messages tous assez) ça évite les redites et les malentendus

Tu pars au quart de tour !!

Ah, faut juste diviser le volume par quatre alors
(heureusement sortir d'une bouteille de Klein c'est facile)