Exercice sur les séries

[math47]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire que voici :


Ce que j'ai fait :
1) J'ai cherché la limite du terme général de la série, j'ai trouvé que sa limite = 1. Comme 1 ≠ 0, la série diverge.

2) J'ai mis au même dénominateur puis par identification j'ai trouvé un système linéaire à 3 équations que j'ai résolu. Je trouve a = 1, b = 2 et c = 3.
À partir d'ici je bloque, je ne vois pas les termes qui se compensent donc comment calculer la somme de n = 3 jusqu'à N...

Pourriez-vous me guider ?

Merci d'avance,
Bonne soirée
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[gg0]

Bonjour.

Une erreur qui brouille tout : c=-3. Tu as d'ailleurs dû trouver a+b+c=0 parmi tes équations.
Ensuite, en décomposant en trois sommes et changeant les indices, on voit que presque tout disparaît.

Bon travail !

[jacknicklaus]

2) J'ai mis au même dénominateur puis par identification j'ai trouvé un système linéaire à 3 équations que j'ai résolu. Je trouve a = 1, b = 2 et c = 3.

Oublie cette méthode et note celle ci . Pour obtenir a, il suffit de multiplier à droite et à gauche par (x-1), de simplifier les (x-1) qui s'éliminent là où c'est le cas, puis de faire x = 1. On a alors directement a. Idem pour b et c.

[math47]

Merci, c'est vrai que je n'ai pas changé de méthode depuis la terminale...

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Bonsoir,

J'ai donc décomposé en trois sommes en utilisant les trois fractions qu'on a obtenu précédemment. J'ai donc les deux premières fractions avec les sommes d'origine et j'ai fait un changement d'indice sur la troisième (j'ai pris j = 0 jusqu'à N-2, j'ai donc dans la somme -3/x+1) mais je n'ai pas l'impression que beaucoup de termes se simplifient... Qu'en pensez-vous ?

PS : Comment fait-on pour utiliser Latex sur les messages du forum ? J'ai juste tapé le code mais dans la prévisualisation du message ça n'apparaissait pas...

Bonne soirée

[gg0]

Et tu vas attendre combien de temps avant de faire les changements d’indices utiles (même expression au dénominateur sur toutes les fractions).

Pour le LaTeX, il y a une conversation attachée en tête de ce forum ("comment écrire de belles formules").

Bon travail !

[albanxiii]

Pour le LaTeX, il y a une conversation attachée en tête de ce forum ("comment écrire de belles formules").

Je remets le lien : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html et aussi https://forums.futura-sciences.com/v...ml#post6452865 pour plus de détails.

[math47]

Bonsoir,
Que pensez-vous de ce changement d'indice-là ?



Bonne soirée

[jacknicklaus]

Bonjour,

as tu seulement pris la peine de verifier que les premiers et derniers termes de chacune des 3 sommes étaient bien identiques?

Par exemple, la somme d'origine (avant changement d'indice) et, affectée au coef a = 1 démarre à n = 3 et se termine à n = N avec des termes en n-1, ce qui donne un premier terme en 1/(3-1) = 1/2 et un dernier en 1/(N-1). Le tien envoie un 1er terme en 1/(10) et un dernier en 1(N+7). Tu ne vois pas un léger problème ?

[gg0]

J'adore aussi les indices i et j qui ne servent pas !!

Le plus simple est de choisir un changement d'indices qui donnera ' et , donc par exemple n'=n-1 dans la première fraction, et n variant de 3 à N, n' variera de 3-1 à N-1.

Et bien sûr, quand on n'est pas très doué (*), on vérifie ce qu'on a fait en détaillant les sommes pour un N faible, 4 ou 5. Ne pas le faire et écrire des âneries en demandant si c'est juste est de la fainéantise (sans compter qu'en examen on recommencera les mêmes bêtises sans profit !).

(*) et justement on n'est pas très doué simplement parce qu'on ne fait pas ça !!

[math47]

Bonsoir,
J'ai modifié les indices et j'ai vérifié en suivant l'exemple de jacknicklaus. Je trouve ceci :

J'ai fait un schéma pour voir quels termes se télescopaient mais je ne vois pas comment simplifier pour montrer les compensations et en déduire qu'elle converge...

Bonne soirée

[gg0]

Ta première ligne est correcte. la suite est du n'importe quoi. La somme des 1/n a disparu !! Alors qu'elle sert justement à faire disparaître les sommes (il ne reste que quelques premiers termes et derniers termes. On voit facilement que les termes communs aux trois sommes sont ceux pour n de 6 à N-2 et qu'ils se simplifient. Si on veut voir. Toi, tu ne veux pas !!

On ne fera pas l'exercice à ta place ! Soit tu veux le faire, et tu t'y mets sérieusement, sans inventer des réponses, en appliquant les règles de calcul, et tu trouveras, soit tu continues bêtement à faire n'importe quoi et tu perds ton temps.

[jacknicklaus]

Je complèterai la réponse de gg0 en disant que c'est une très bonne idée de faire le petit schéma avec des couleurs. Celà te permet de voir immédiatement la zone de recouvrement où il y a les trois couleurs, et de constater que vu que a+b+c = 1+2-3 = 0, la somme des termes est nulle dans cette zone.

Il te reste donc à calculer explicitement les quelques termes qui ne se recouvrent pas, au début (à gauche) des 3 séries, et à examiner ce que deviennent les termes à la fin (à droite) quand N tends vers +infini.

A toi de terminer, tu n'es plus très loin.

[math47]

Bonjour,
J'ai corrigé, qu'en pensez-vous ?

[jacknicklaus]

je ne trouve pas 119/20...
re-vérifie

[math47]

127/20 ? et pour les autres termes c'est bon, j'ai compris ?

[jacknicklaus]

tu manques énormément de rigueur dans les petits calculs. je n'ai pas l’intention de vérifier les "autres" termes, mais déjà, je peux te dire que tu n'es pas cohérent en ce qui concerne la somme des premiers termes.
Je compte 11 termes dans ton calcul pour 119/20 ou 127/20.

Or ton schéma (très bien fait) montre qu"il y a exactement 9 termes à sommer : les termes de 1 à 5 (donc 5 termes) de la somme rouge, et les termes 2 à 5 (donc 4 termes) de la somme verte. Les termes à partir de 6, et 6 compris, sont à la fois rouges, verts, bleus et donc s'éliminent (d"ailleurs tu n'as pas rédigé et prouvé ce point)

[math47]

Mais les termes de n-1 à n+3 ne sont que bleus donc ils ne s'annulent pas, si ?

[gg0]

Non, le problème n'est pas là. Il est dans les termes du début, ceux qui ne disparaîtront pas par passage à la limite. Tu en as écrit 11.

Reprends ton calcul proprement. Le premier terme de la première somme n'est pas 2, donc tu calcules de façon non régulière, ce qui explique que tu te trompes.

[math47]

J'ai mis quels termes correspondaient à quelle somme :

[gg0]

OK pour les termes du début. Pour la fin, je ne comprends pas ces N-2 (les termes de dénominateur N-2 se simplifient puisqu'ils sont dans toutes les sommes, ou bien il te manque 2/(N-2) ni le 1/(N+1).
Allez ! Secoue-toi pour t'obliger à calculer juste.

[math47]

Je n'ai écrit que les termes de la somme bleue :

[jacknicklaus]

Bon, on y est (enfin!) .

DOnc au final il te reste :
1) un terme constant dont tu dois encore donner la valeur, et qui est la somme des 9 premiers termes, cf ton post #20. ce n'est ni 119/20 ni 127/20.
2) et de plusieurs termes qui dépendent de N, ton post #22. inutile de mettre au même dénominateur, tu peux laisser tel quel.


Est-ce que cette somme finale a une limite quand N -> +infini ? Si oui quelle est elle ?

[math47]

Le terme constant est 117/20 et quand on prend la limite quand N tend vers +infini de 117/20 + les termes de la somme bleue on trouve 117/20 puisque tous les termes dépendants de N tendent vers 0 quand N tend vers +infini. C'est bien ça ?

[jacknicklaus]

OK. Faut juste que tu rédiges le tout convenablement maintenant.

[math47]

Merci beaucoup !