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Exercice sur les séries



  1. #1
    math47

    Exercice sur les séries


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un exercice à faire que voici :
    Nom : IMG_20211012_180832.jpg
Affichages : 123
Taille : 71,6 Ko

    Ce que j'ai fait :
    1) J'ai cherché la limite du terme général de la série, j'ai trouvé que sa limite = 1. Comme 1 ≠ 0, la série diverge.

    2) J'ai mis au même dénominateur puis par identification j'ai trouvé un système linéaire à 3 équations que j'ai résolu. Je trouve a = 1, b = 2 et c = 3.
    À partir d'ici je bloque, je ne vois pas les termes qui se compensent donc comment calculer la somme de n = 3 jusqu'à N...

    Pourriez-vous me guider ?

    Merci d'avance,
    Bonne soirée

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    Bonjour.

    Une erreur qui brouille tout : c=-3. Tu as d'ailleurs dû trouver a+b+c=0 parmi tes équations.
    Ensuite, en décomposant en trois sommes et changeant les indices, on voit que presque tout disparaît.

    Bon travail !

  4. #3
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    Citation Envoyé par math47 Voir le message
    2) J'ai mis au même dénominateur puis par identification j'ai trouvé un système linéaire à 3 équations que j'ai résolu. Je trouve a = 1, b = 2 et c = 3.
    Oublie cette méthode et note celle ci . Pour obtenir a, il suffit de multiplier à droite et à gauche par (x-1), de simplifier les (x-1) qui s'éliminent là où c'est le cas, puis de faire x = 1. On a alors directement a. Idem pour b et c.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  5. #4
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Merci, c'est vrai que je n'ai pas changé de méthode depuis la terminale...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Bonsoir,

    J'ai donc décomposé en trois sommes en utilisant les trois fractions qu'on a obtenu précédemment. J'ai donc les deux premières fractions avec les sommes d'origine et j'ai fait un changement d'indice sur la troisième (j'ai pris j = 0 jusqu'à N-2, j'ai donc dans la somme -3/x+1) mais je n'ai pas l'impression que beaucoup de termes se simplifient... Qu'en pensez-vous ?

    PS : Comment fait-on pour utiliser Latex sur les messages du forum ? J'ai juste tapé le code mais dans la prévisualisation du message ça n'apparaissait pas...

    Bonne soirée

  8. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    Et tu vas attendre combien de temps avant de faire les changements d’indices utiles (même expression au dénominateur sur toutes les fractions).

    Pour le LaTeX, il y a une conversation attachée en tête de ce forum ("comment écrire de belles formules").

    Bon travail !

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  10. #7
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Exercice sur les séries

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pour le LaTeX, il y a une conversation attachée en tête de ce forum ("comment écrire de belles formules").
    Je remets le lien : https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html et aussi https://forums.futura-sciences.com/v...ml#post6452865 pour plus de détails.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  11. #8
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Bonsoir,
    Que pensez-vous de ce changement d'indice-là ?

    Nom : IMG_20211013_213008.jpg
Affichages : 51
Taille : 40,8 Ko

    Bonne soirée

  12. #9
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    Bonjour,

    as tu seulement pris la peine de verifier que les premiers et derniers termes de chacune des 3 sommes étaient bien identiques?

    Par exemple, la somme d'origine (avant changement d'indice) et, affectée au coef a = 1 démarre à n = 3 et se termine à n = N avec des termes en n-1, ce qui donne un premier terme en 1/(3-1) = 1/2 et un dernier en 1/(N-1). Le tien envoie un 1er terme en 1/(10) et un dernier en 1(N+7). Tu ne vois pas un léger problème ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  13. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    J'adore aussi les indices i et j qui ne servent pas !!

    Le plus simple est de choisir un changement d'indices qui donnera ' et , donc par exemple n'=n-1 dans la première fraction, et n variant de 3 à N, n' variera de 3-1 à N-1.

    Et bien sûr, quand on n'est pas très doué (*), on vérifie ce qu'on a fait en détaillant les sommes pour un N faible, 4 ou 5. Ne pas le faire et écrire des âneries en demandant si c'est juste est de la fainéantise (sans compter qu'en examen on recommencera les mêmes bêtises sans profit !).

    (*) et justement on n'est pas très doué simplement parce qu'on ne fait pas ça !!
    Dernière modification par gg0 ; 14/10/2021 à 08h29.

  14. #11
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Bonsoir,
    J'ai modifié les indices et j'ai vérifié en suivant l'exemple de jacknicklaus. Je trouve ceci :Nom : IMG_20211014_225916.jpg
Affichages : 32
Taille : 34,2 Ko

    J'ai fait un schéma pour voir quels termes se télescopaient mais je ne vois pas comment simplifier pour montrer les compensations et en déduire qu'elle converge...

    Bonne soirée

  15. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    Ta première ligne est correcte. la suite est du n'importe quoi. La somme des 1/n a disparu !! Alors qu'elle sert justement à faire disparaître les sommes (il ne reste que quelques premiers termes et derniers termes. On voit facilement que les termes communs aux trois sommes sont ceux pour n de 6 à N-2 et qu'ils se simplifient. Si on veut voir. Toi, tu ne veux pas !!

    On ne fera pas l'exercice à ta place ! Soit tu veux le faire, et tu t'y mets sérieusement, sans inventer des réponses, en appliquant les règles de calcul, et tu trouveras, soit tu continues bêtement à faire n'importe quoi et tu perds ton temps.

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  17. #13
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    Je complèterai la réponse de gg0 en disant que c'est une très bonne idée de faire le petit schéma avec des couleurs. Celà te permet de voir immédiatement la zone de recouvrement où il y a les trois couleurs, et de constater que vu que a+b+c = 1+2-3 = 0, la somme des termes est nulle dans cette zone.

    Il te reste donc à calculer explicitement les quelques termes qui ne se recouvrent pas, au début (à gauche) des 3 séries, et à examiner ce que deviennent les termes à la fin (à droite) quand N tends vers +infini.

    A toi de terminer, tu n'es plus très loin.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  18. #14
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Bonjour,
    J'ai corrigé, qu'en pensez-vous ?Nom : IMG_20211015_104149.jpg
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  19. #15
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    je ne trouve pas 119/20...
    re-vérifie
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  20. #16
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    127/20 ? et pour les autres termes c'est bon, j'ai compris ?

  21. #17
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    tu manques énormément de rigueur dans les petits calculs. je n'ai pas l’intention de vérifier les "autres" termes, mais déjà, je peux te dire que tu n'es pas cohérent en ce qui concerne la somme des premiers termes.
    Je compte 11 termes dans ton calcul pour 119/20 ou 127/20.

    Or ton schéma (très bien fait) montre qu"il y a exactement 9 termes à sommer : les termes de 1 à 5 (donc 5 termes) de la somme rouge, et les termes 2 à 5 (donc 4 termes) de la somme verte. Les termes à partir de 6, et 6 compris, sont à la fois rouges, verts, bleus et donc s'éliminent (d"ailleurs tu n'as pas rédigé et prouvé ce point)
    Dernière modification par jacknicklaus ; 15/10/2021 à 14h05.
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  22. #18
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Mais les termes de n-1 à n+3 ne sont que bleus donc ils ne s'annulent pas, si ?

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  24. #19
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    Non, le problème n'est pas là. Il est dans les termes du début, ceux qui ne disparaîtront pas par passage à la limite. Tu en as écrit 11.

    Reprends ton calcul proprement. Le premier terme de la première somme n'est pas 2, donc tu calcules de façon non régulière, ce qui explique que tu te trompes.

  25. #20
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    J'ai mis quels termes correspondaient à quelle somme : Nom : IMG_20211015_184540.jpg
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  26. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice sur les séries

    OK pour les termes du début. Pour la fin, je ne comprends pas ces N-2 (les termes de dénominateur N-2 se simplifient puisqu'ils sont dans toutes les sommes, ou bien il te manque 2/(N-2) ni le 1/(N+1).
    Allez ! Secoue-toi pour t'obliger à calculer juste.

  27. #22
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Je n'ai écrit que les termes de la somme bleue : Nom : IMG_20211015_191724.jpg
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Taille : 23,9 Ko

  28. #23
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    Bon, on y est (enfin!) .

    DOnc au final il te reste :
    1) un terme constant dont tu dois encore donner la valeur, et qui est la somme des 9 premiers termes, cf ton post #20. ce n'est ni 119/20 ni 127/20.
    2) et de plusieurs termes qui dépendent de N, ton post #22. inutile de mettre au même dénominateur, tu peux laisser tel quel.


    Est-ce que cette somme finale a une limite quand N -> +infini ? Si oui quelle est elle ?
    Dernière modification par jacknicklaus ; 15/10/2021 à 19h00.
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  29. #24
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Le terme constant est 117/20 et quand on prend la limite quand N tend vers +infini de 117/20 + les termes de la somme bleue on trouve 117/20 puisque tous les termes dépendants de N tendent vers 0 quand N tend vers +infini. C'est bien ça ?

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  31. #25
    jacknicklaus

    Re : Exercice sur les séries

    OK. Faut juste que tu rédiges le tout convenablement maintenant.
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  32. #26
    math47

    Re : Exercice sur les séries

    Merci beaucoup !

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