Exercice convergence et limite d'intégrales

[math47]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :
1634289314899.jpg

J'ai fait les deux questions, j'aimerais savoir si ce que j'avais fait était juste.

1) Pour définir la convergence de l'intégrale, j'ai utilisé le théorème d'Abel. J'ai donc vérifié les conditions du théorème : f(x) est continue sur [a,+infini[ tel que l'intégrale de a à +infini de f(x)dx converge. Puis pour exp(-tx) : lim exp(-tx) = 0 en +infini, la dérivée de exp(-tx) = -xexp(-tx) comme elle est toujours négative la fonction est strictement décroissante, et exp(-tx) > 0 sur R donc elle est positive, elle est aussi dérivable et continue sur [a,+infini[. Donc d'après le théorème d'Abel, l'intégrale g(t) converge.

2) Voici ce que j'ai fait : 1634293230403.jpg
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[gg0]

Bonjour.

1) Manque sérieux de rigueur. L'énoncé te donne pourtant une indication précise : "Pour t>0" que tu n'utilises pas, ce qui rend fausse une de tes affirmations. Je n'ai pas vérifié l'application de ton théorème, je n'ai pas ton cours.
2) Une grosse erreur de calcul dans l'IPP.

Avec plus de soin, tu pourrais t'en sortir. Mais pour l'instant, tu survoles sans réussir.

[math47]

Bonjour,
1) Pour utiliser le théorème d'Abel, il faudrait que f(x) soit bornée ? Comment le savoir ? L'est-elle seulement car elle converge ?
Mon erreur est-elle corrigée : exp(-tx) > 0 sur [a, +infini[

2) Est-ce mieux ainsi ?

Bonne journée

[gg0]

1) Je n'ai ni le théorème précis que tu emploies, ni la rédaction de ta réponse. Tu te moques du monde !!
2)
a) calcul faux de v'
b) mauvais calcul du résultat de l'IPP
c) ce n'est pas la limite quand x --> +oo (ce qui serait idiot, la fonction g(t) ne dépend pas de x)
d) dans une limite par rapport à x, il n'y a plus de x dans le résultat
e) un 0 apparaît sans justification

Ça fait beaucoup de problèmes, dont la plupart sont évitable avec un peu de soin.
Quand vas-tu te mettre sérieusement au travail ? (*) Pour l'instant, ce que tu fais ou rien, ça vaut la même chose !! On ne peut même pas te guider !

(*) Ne dis pas que tu as beaucoup travaillé, tu as seulement beaucoup pris de temps pour faire n'importe quoi. Quand on calcule une limite qui n'est pas celle de l'énoncé ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

1) Voici le théorème : 1634378806257.jpg
Ma réponse : Vérifions les conditions du théorème pour t > 0 : f(x) est continue sur [a,+infini[ telle que l'intégrale de a à +infini de f(x)dx converge (f bornée ?). Puis pour exp(-tx) : lim exp(-tx) = 0 en +infini, la dérivée de exp(-tx) = -xexp(-tx) comme elle est toujours négative la fonction est strictement décroissante, et exp(-tx) > 0 sur [a, +infini[ donc elle est positive, elle est aussi dérivable et continue sur [a,+infini[. Donc d'après le théorème d'Abel, l'intégrale g(t) converge.

2) 1634374302529 (1).jpg

[gg0]

"1) Voici le théorème :" ???? Il n'y a pas de théorème !

[math47]

Pardon, je me suis trompé de pièce jointe, le voici :
La pièce jointe que j'ai mis au 1 est celle de ma question 2 en fait

[gg0]

Donc pour appliquer ton théorème, il faut que tu montres que l'intégrale est bornée. Cherche ce qui le justifie ...

Et il reste à traiter le cas t=0 (l'énoncé le dit).

[math47]

Pour t = 0, g(t) = intégrale de a à +infini de f(x) dx et comme dit dans l'énoncé elle converge. Donc en rajoutant la réponse pour t > 0, on a finalement que pour t>= 0 g(t) converge.
Et l'intégrale est bornée car elle est continue sur [a,+infini[ ?

[gg0]

Borné est différent de continu. Pas de baratin s'il te plaît; rédige une vraie preuve.

[math47]

Bonsoir,

La fonction A -> intégrale de a à A de f(x) dx est continue converge quand A→+∞ elle est donc bornée, c'est bien ça ?

[gg0]

Plutôt que "converge", on dirait "a une limite finie". "converge" est utilisé pour les séries et les intégrales généralisées, définies comme des limites, et par extension pour les suites, quand ce qui intéresse est justement la limite. Un emploi précis du vocabulaire mathématique permet une pensée claire, et une expression compréhensible.
J'espère que tu sais démontrer ce résultat (c'est facile). Il est dans ton cours ?

[math47]

Bonjour,
Il n'est pas dans mon cours je l'ai trouvé sur Internet

[gg0]

Donc il te faut le démontrer .. Internet n'est pas une source fiable.

[math47]

Bonsoir, pour revenir sur l'IPP : (https://forums.futura-sciences.com/a...4378806257.jpg)

la limite de l'intégrale est égale à -(F(x).exp(-ax)) et non à 0... Où est mon erreur ?

[gg0]

Je ne sais pas, je ne sais plus ce que tu fais.
Rédige une réponse complète, claire et cohérente (pas un de tes brouillons habituels)

[math47]

Voici ce que j'ai fait :

[gg0]

C'est ce que tu avais fait et qui est faux. Tu recopies soigneusement tes erreurs !!!
La valeur en a de F(x)exp(-tx) est F(a)exp(-ta).
Il manque la justification des limites des exponentielles, mais tu l'as peut-être en tête (x>0, pourquoi ?) et surtout; pourquoi la dernière intégrale tend-elle vers 0 ???? Le "raisonnement" que tu emploies s'applique à l'intégrale de départ, pourquoi faire ces calculs ?

Je n'ai pas compris pourquoi tu es parti sur une IPP, alors qu'une simple majoration de l'intégrale de départ suffit ...

[jacknicklaus]

Ben c'est pas joli joli. Déjà la copie est presque illisible. Fais un effort si tu veux que nous en fassions de notre côté de l'écran !
Du peu que je déchiffre, je vois une énormité signe d'un complète incompréhension de ce qu'est

[gg0]

En fait, Math47 nous a ressorti son vieux brouillon sur lequel il a rajouté des écritures ...

Cordialement.

[math47]

Alors malheureusement non, j'ai refait ça ce soir.

Effectivement merci à vous deux ce qui m'a perturbé c'est que l'intégrale était g(t) mais elle était en dx (si ça peut faire sens) j'ai compris mon erreur.

Donc pour majorer la fonction de départ, il faut que je trouve une fonction supérieure à celle-ci dont la limite est égale à 0, c'est ça ?

[gg0]

Non, j'ai été un peu trop vite. Comme je ne sais pas ce que tu as eu en cours, je ne sais pas ce que ton prof veut te faire utiliser. Peut-être le théorème de la moyenne ...

[math47]

J'ai pas vu le théorème de la moyenne donc...

[math47]

Peut-on dire que 2/(1+tx) majore exp(-tx) ?
Et comme elle tend vers 0 en +infini, g(t) aussi ?

[gg0]

Mais exp(-tx) aussi tend vers 0 ... Inutile de la remplacer si c'est pour employer une fausse règle.

[math47]

Parce que j'ai voulu majorer par exp(-x) mais c ne fonctionne pas

[math47]

Une fausse règle ? Mais si f(t) ≤ g(t) et intégrale de g(t) converge l'intégrale de f(t) converge, non ?

[gg0]

Non, l'intégrale d'une fonction négative f peut diverger bien que f ≤ 0 et l'intégrale de 0 converge.