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Exercice convergence et limite d'intégrales



  1. #1
    math47

    Exercice convergence et limite d'intégrales


    ------

    Bonjour,
    J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :
    1634289314899.jpg

    J'ai fait les deux questions, j'aimerais savoir si ce que j'avais fait était juste.

    1) Pour définir la convergence de l'intégrale, j'ai utilisé le théorème d'Abel. J'ai donc vérifié les conditions du théorème : f(x) est continue sur [a,+infini[ tel que l'intégrale de a à +infini de f(x)dx converge. Puis pour exp(-tx) : lim exp(-tx) = 0 en +infini, la dérivée de exp(-tx) = -xexp(-tx) comme elle est toujours négative la fonction est strictement décroissante, et exp(-tx) > 0 sur R donc elle est positive, elle est aussi dérivable et continue sur [a,+infini[. Donc d'après le théorème d'Abel, l'intégrale g(t) converge.

    2) Voici ce que j'ai fait : 1634293230403.jpg

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  4. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Bonjour.

    1) Manque sérieux de rigueur. L'énoncé te donne pourtant une indication précise : "Pour t>0" que tu n'utilises pas, ce qui rend fausse une de tes affirmations. Je n'ai pas vérifié l'application de ton théorème, je n'ai pas ton cours.
    2) Une grosse erreur de calcul dans l'IPP.

    Avec plus de soin, tu pourrais t'en sortir. Mais pour l'instant, tu survoles sans réussir.

  5. #3
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Bonjour,
    1) Pour utiliser le théorème d'Abel, il faudrait que f(x) soit bornée ? Comment le savoir ? L'est-elle seulement car elle converge ?
    Mon erreur est-elle corrigée : exp(-tx) > 0 sur [a, +infini[

    2) Est-ce mieux ainsi ? Nom : 1634374302529.jpg
Affichages : 33
Taille : 103,5 Ko

    Bonne journée

  6. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    1) Je n'ai ni le théorème précis que tu emploies, ni la rédaction de ta réponse. Tu te moques du monde !!
    2)
    a) calcul faux de v'
    b) mauvais calcul du résultat de l'IPP
    c) ce n'est pas la limite quand x --> +oo (ce qui serait idiot, la fonction g(t) ne dépend pas de x)
    d) dans une limite par rapport à x, il n'y a plus de x dans le résultat
    e) un 0 apparaît sans justification

    Ça fait beaucoup de problèmes, dont la plupart sont évitable avec un peu de soin.
    Quand vas-tu te mettre sérieusement au travail ? (*) Pour l'instant, ce que tu fais ou rien, ça vaut la même chose !! On ne peut même pas te guider !

    (*) Ne dis pas que tu as beaucoup travaillé, tu as seulement beaucoup pris de temps pour faire n'importe quoi. Quand on calcule une limite qui n'est pas celle de l'énoncé ....

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    1) Voici le théorème : 1634378806257.jpg
    Ma réponse : Vérifions les conditions du théorème pour t > 0 : f(x) est continue sur [a,+infini[ telle que l'intégrale de a à +infini de f(x)dx converge (f bornée ?). Puis pour exp(-tx) : lim exp(-tx) = 0 en +infini, la dérivée de exp(-tx) = -xexp(-tx) comme elle est toujours négative la fonction est strictement décroissante, et exp(-tx) > 0 sur [a, +infini[ donc elle est positive, elle est aussi dérivable et continue sur [a,+infini[. Donc d'après le théorème d'Abel, l'intégrale g(t) converge.

    2) 1634374302529 (1).jpg

  9. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    "1) Voici le théorème :" ???? Il n'y a pas de théorème !

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  11. #7
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Pardon, je me suis trompé de pièce jointe, le voici : Nom : 1634379124227.jpg
Affichages : 28
Taille : 62,8 Ko
    La pièce jointe que j'ai mis au 1 est celle de ma question 2 en fait
    Dernière modification par math47 ; 16/10/2021 à 18h27.

  12. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Donc pour appliquer ton théorème, il faut que tu montres que l'intégrale est bornée. Cherche ce qui le justifie ...

    Et il reste à traiter le cas t=0 (l'énoncé le dit).

  13. #9
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Pour t = 0, g(t) = intégrale de a à +infini de f(x) dx et comme dit dans l'énoncé elle converge. Donc en rajoutant la réponse pour t > 0, on a finalement que pour t>= 0 g(t) converge.
    Et l'intégrale est bornée car elle est continue sur [a,+infini[ ?

  14. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Borné est différent de continu. Pas de baratin s'il te plaît; rédige une vraie preuve.

  15. #11
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Bonsoir,

    La fonction A -> intégrale de a à A de f(x) dx est continue converge quand A→+∞ elle est donc bornée, c'est bien ça ?

  16. #12
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Plutôt que "converge", on dirait "a une limite finie". "converge" est utilisé pour les séries et les intégrales généralisées, définies comme des limites, et par extension pour les suites, quand ce qui intéresse est justement la limite. Un emploi précis du vocabulaire mathématique permet une pensée claire, et une expression compréhensible.
    J'espère que tu sais démontrer ce résultat (c'est facile). Il est dans ton cours ?

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  18. #13
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Bonjour,
    Il n'est pas dans mon cours je l'ai trouvé sur Internet

  19. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Donc il te faut le démontrer .. Internet n'est pas une source fiable.

  20. #15
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Bonsoir, pour revenir sur l'IPP : (https://forums.futura-sciences.com/a...4378806257.jpg)

    la limite de l'intégrale est égale à -(F(x).exp(-ax)) et non à 0... Où est mon erreur ?

  21. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Je ne sais pas, je ne sais plus ce que tu fais.
    Rédige une réponse complète, claire et cohérente (pas un de tes brouillons habituels)

  22. #17
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Voici ce que j'ai fait : Nom : IMG_20211020_201902.jpg
Affichages : 13
Taille : 89,4 Ko

  23. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    C'est ce que tu avais fait et qui est faux. Tu recopies soigneusement tes erreurs !!!
    La valeur en a de F(x)exp(-tx) est F(a)exp(-ta).
    Il manque la justification des limites des exponentielles, mais tu l'as peut-être en tête (x>0, pourquoi ?) et surtout; pourquoi la dernière intégrale tend-elle vers 0 ???? Le "raisonnement" que tu emploies s'applique à l'intégrale de départ, pourquoi faire ces calculs ?

    Je n'ai pas compris pourquoi tu es parti sur une IPP, alors qu'une simple majoration de l'intégrale de départ suffit ...

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  25. #19
    jacknicklaus

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Ben c'est pas joli joli. Déjà la copie est presque illisible. Fais un effort si tu veux que nous en fassions de notre côté de l'écran !
    Du peu que je déchiffre, je vois une énormité signe d'un complète incompréhension de ce qu'est

    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  26. #20
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    En fait, Math47 nous a ressorti son vieux brouillon sur lequel il a rajouté des écritures ...

    Cordialement.

  27. #21
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Alors malheureusement non, j'ai refait ça ce soir.

    Effectivement merci à vous deux ce qui m'a perturbé c'est que l'intégrale était g(t) mais elle était en dx (si ça peut faire sens) j'ai compris mon erreur.

    Donc pour majorer la fonction de départ, il faut que je trouve une fonction supérieure à celle-ci dont la limite est égale à 0, c'est ça ?

  28. #22
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Non, j'ai été un peu trop vite. Comme je ne sais pas ce que tu as eu en cours, je ne sais pas ce que ton prof veut te faire utiliser. Peut-être le théorème de la moyenne ...

  29. #23
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    J'ai pas vu le théorème de la moyenne donc...

  30. #24
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Peut-on dire que 2/(1+tx) majore exp(-tx) ?
    Et comme elle tend vers 0 en +infini, g(t) aussi ?

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  32. #25
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Mais exp(-tx) aussi tend vers 0 ... Inutile de la remplacer si c'est pour employer une fausse règle.

  33. #26
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Parce que j'ai voulu majorer par exp(-x) mais c ne fonctionne pas

  34. #27
    math47

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Une fausse règle ? Mais si f(t) ≤ g(t) et intégrale de g(t) converge l'intégrale de f(t) converge, non ?

  35. #28
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Exercice convergence et limite d'intégrales

    Non, l'intégrale d'une fonction négative f peut diverger bien que f ≤ 0 et l'intégrale de 0 converge.

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