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exercice nature intégrales



  1. #1
    math47

    exercice nature intégrales


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un exercice à faire dont voici l'énoncé :1634309464729.jpg

    Ce que j'ai fait :

    1) 1634323658734.jpg
    Qu'en pensez-vous ?

    2) J'ai commencé par appliquer la relation de Chasles à cette intégrale mais je n'arrive pas à trouver de primitive de cette fonction...

    3) Ma tentative d'intégration par parties n'a pas l'air de me mener bien loin...

    Pourriez-vous m'éclairer pour les autres ?

    Merci d'avance,
    Bonne soirée

    -----
    Dernière modification par math47 ; 15/10/2021 à 20h51.

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  4. #2
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    Citation Envoyé par math47 Voir le message

    1) Qu'en pensez-vous ?
    Que ca commence mal. Tu as l'air de tenir pour vrai que la somme de 2 intégrales divergentes l'est aussi.
    depuis quand ?

    que penses tu de ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  5. #3
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    Citation Envoyé par math47 Voir le message

    2) mais je n'arrive pas à trouver de primitive de cette fonction...
    c'est normal, tu n'en trouveras pas. ET ca tombe bien, on ne te demande pas de donner une primitive, seulement d'étudier la convergence.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  6. #4
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Bonjour,
    Pour modifier suite à votre message comme je ne voyais pas du tout, j'ai essayé de regarder sur internet et toutes les méthodes que j'ai trouvé utilisent la même manière que moi... Que faire alors ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Pour le 1, on peut soit utiliser la définition d'une intégrale généralisée (ici avec une double limite), soit utiliser un raisonnement "par l'absurde" :
    Si converge, alors converge (*). Or ici, diverge car .. (ici ta preuve). Donc diverge. C'est sans doute ce genre de chose que tu as trouvé sur Internet (en dehors d'explications fausses, malheureusement nombreuses). Mais on ne va pas commencer par une affirmation qui n'a pas de sens, comme tu l'avais fait (la relation de Chasles suppose que les objets utilisés ont un sens).

    Cordialement.

    (*) et converge aussi, mais on n'en a pas besoin ici

  9. #6
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Merci de votre réponse.
    Pour la 2 : Nom : IMG_20211016_135419.jpg
Affichages : 73
Taille : 54,8 Ko Qu'en pensez-vous ?
    Mais comment faire pour l'intégrale de -infini à 0 ?

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  11. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    "Qu'en pensez-vous ?" Oui, c'est correct, mais ça reste à rédiger (tu présentes un brouillon).
    "Mais comment faire pour l'intégrale de -infini à 0 ?" Ben ... tu n'as pas essayé de faire la même chose ? Tu as déjà entendu parler de fonctions paires ?

    Cordialement.

  12. #8
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Comme c'est une fonction paire l'intégrale de -infini à 0 de exp(-x²) converge également c'est ça ? et même elle est égale à l'intégrale de 0 à +infini de exp(-x²) ?
    ²

  13. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Effectivement, et ça règle le problème.

  14. #10
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Bonjour, auriez-vous vous une indication pour la troisième intégrale ? J'ai essayé une intégration par parties, j'ai aussi essayé de trouver un équivalent avec le DL de exp mais je n'arrive pas à conclure...

  15. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    La première chose à faire est de chercher où la fonction à intégrer est définie, pour trouver les problèmes d'intégration. Puis tu traiteras les différents cas.
    Rappel : si la fonction se prolonge par continuité, il n'y a pas de problème.
    Dernière modification par gg0 ; 17/10/2021 à 14h40.

  16. #12
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Elle est définie sur [0, +infini[ et donc le problème est en +infini uniquement, c'est bien ça ?

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  18. #13
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    ah bon ? ca vaut quoi



    en x = 0 ??
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  19. #14
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Oh oui effectivement
    Elle est donc définie sur ]0, +infini[ le problème est donc en 0 et en +infini.
    Je dois donc utiliser Chasles pour avoir une intégrale de 0 à 1 et une autre de 1 à +infini, c'est ça ?

  20. #15
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    tu fais comme tu veux, du moment que ca marche; A toi d'essayer !
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  21. #16
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Alors Chasles effectivement fonctionne comme ça puisque je n'ai plus qu'un "problème" par intégrale. Comme je ne trouve pas de primitive je ne vois pas trop quoi faire car mon IPP par exemple pour l'intégrale de 0 à 1 me donne ((1^(alpha+1))/alpha + 1 )(1-exp(-1)) - l'intégrale de 0 à 1 de v'u dx mais que faire de ça...?

  22. #17
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Mais pourquoi fais-tu "ton" IPP ? On dirait que tu as vu dans un exercice qu'une IPP donnait le résultat, alors tu recommences même quand ça ne sert à rien. Et n'importe comment, si l'intégrale diverge, c'est une ânerie !!
    Commence par apprendre tes leçons (dans ton cours) en particulier les critères de convergence des intégrales. faire les exercices sans apprendre le cours, c'est idiot : On doit appliquer des méthodes qu'on n'a pas appris !!!

  23. #18
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Comme méthodes pour montrer la convergence j'ai : comparer à une intégrale de référence (Riemann ou Bertrand), le critère de Cauchy, l'absolue convergence, le théorème d'Abel, le théorème des équivalents, théorème des comparaisons et les fonctions positives. Sinon j'ai l'IPP et le changement de variable qui peuvent m'aider dans mes calculs.

    C'est le fait que ce soit un produit qui me pousse à faire cette méthode ça me bloque un peu...

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  25. #19
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    Citation Envoyé par math47 Voir le message
    Comme méthodes pour montrer la convergence j'ai : comparer à une intégrale de référence (Riemann ou Bertrand), le critère de Cauchy, l'absolue convergence, le théorème d'Abel, le théorème des équivalents, théorème des comparaisons et les fonctions positives.
    Ah !

    et tu ne vois pas la possibilité d'un équivalent, pour x tendant vers +infini, de ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  26. #20
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Bonsoir,

    -1/2x fonctionne ?

  27. #21
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Non !

    Donne ton calcul.

  28. #22
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Je suis allé voir mon prof à la fin du cours pour lui demander un indice il m'a dit que comme -1/sqrt(x) tendait vers 0 en plus l'infini je pouvais faire le DL d'exponentielle en 0 pour trouver un équivalent. Du coup le DL d'exp(-1/sqrt(x)) = 1 + (-1/sqrt(x))²/2) + o(x²) = 1 + (-1/2x) + o(x)
    et donc DL de 1 - exp(-1/sqrt(x)) = (-1/2x) + o(x)

  29. #23
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    Citation Envoyé par math47 Voir le message
    le DL d'exp(-1/sqrt(x)) = 1 + (-1/sqrt(x))²/2) + o(x²)
    complètement faux.

    et déjà, "le DL" ne veut rien dire. Il aurait fallu préciser en quelle valeur de x il est établi.
    Dernière modification par jacknicklaus ; 19/10/2021 à 19h51.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  30. #24
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    correction : DL d'exp(-1/sqrt(x)) en 0 = 1 + (-1/sqrt(x)) + (-1/sqrt(x))²/2) + o(x²) = 1 +(-1/sqrt(x)) + (-1/2x) + o(x)
    et donc DL en 0 de 1 - exp(-1/sqrt(x)) = (1/sqrt(x)) + (-1/2x) + o(x)

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  32. #25
    jacknicklaus

    Re : exercice nature intégrales

    Citation Envoyé par math47 Voir le message
    1 + (-1/sqrt(x)) + (-1/sqrt(x))²/2) + o(x²) = 1 +(-1/sqrt(x)) + (-1/2x) + o(x)
    encore faux, avec 3 erreurs :
    1) un problème de signe
    2) un problème de parenthèses dans (-1/sqrt(x))²/2)
    3) ce DL n'est PAS valable pour x au voisinage de 0.
    Dernière modification par jacknicklaus ; 19/10/2021 à 20h23.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  33. #26
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Correction : Nom : IMG_20211019_203045.jpg
Affichages : 40
Taille : 71,3 Ko
    3) pour quelle raison ?
    Dernière modification par math47 ; 19/10/2021 à 20h33.

  34. #27
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Il s'agit d'un développement asymptotique, on va utiliser le fait que c'est l'exponentielle de quelque chose qui tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
    La bonne pratique est d'utiliser le DL de exp(t) en 0, puis de remplacer t par ce qui tend vers 0.
    Il y a encore une grosse erreur, le o(t²) ne donne pas du tout un o(x²).

    Toujours ce manque de soin dans les calculs. Un calcul faux ne sert à rien !!

  35. #28
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    C'est un o(x) à la première ligne aussi c'est ça ?

    "La bonne pratique est d'utiliser le DL de exp(t) en 0, puis de remplacer t par ce qui tend vers 0" ce qui tend vers 0 ici c'est -1/sqrt(x)) et j'ai remplacé u par ça, donc c'est bon, non ?

  36. #29
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exercice nature intégrales

    Non, tu n'as pas fait ça.

  37. #30
    math47

    Re : exercice nature intégrales

    Je... trouve la même chose ?Nom : IMG_20211019_212142.jpg
Affichages : 42
Taille : 84,7 Ko

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