Estimateur - Efficacité, convergence et intervalle de confiance

[fabio123]

Bonsoir,

j'ai du mal à saisir le langage et les notions introduites dans la section https://fr.wikipedia.org/wiki/Estimateur_(statistique)#Effic acité, convergence et tintervalle de confiance

1) en particulier ce passage que je mets en capture :

"Pour toute loi normale, dans 95 % des cas, la variable aléatoire s'éloigne de son espérance de moins de deux fois son écart type"

Pour affirmer que l'on s'écarte de 2 sigmas , que fait-on du facteur dans l'expression de l'intervalle ?

On le prend égal à ? Je ne comprends pas cette phrase si on ne tient pas compte de la taille de l'échantillon.

2) De la même manière, le même problème se pose avec la notion de précision d'une enquête :

"On parle souvent de la précision d'une enquête : c'est le rapport entre l'écart type et la moyenne de la variable aléatoire . Si l'enquête est précise à 2% par exemple, c'est que ce rapport est de 2%. Cela signifie que l'intervalle de confiance à 95% est de "

Ici aussi, où est passé la taille de l'échantillon. Je veux bien qu'on mette en facteur dans l'intervalle de confiance puis multiplier par 2 pour avoir l'intervalle à 95% mais la taille de l'échantillon n'intervient pas là aussi.

J'ai des connaissances sommaires en statistiques, si quelqu'un pouvait m'aider à mieux comprendre ces 2 points, ça serait sympa.

Merci par avance
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[gg0]

Bonjour.

Il faudrait lire correctement. Tu dis "Pour affirmer que l'on s'écarte de 2 sigmas", or ce n'est pas dans le texte ! Dans le texte, il est écrit "de moins de deux fois son écart type". Or "son écart type" n'est pas !!
Pour ta deuxième question, tu es manifestement allé trop vite, tu as oublié que la taille de l'échantillon a servi pour , mais surtout pour .

"J'ai des connaissances sommaires en statistiques" donc, si tu veux vraiment lire et comprendre ce texte, il va te falloir étudier un cours de base sur l'estimation et les intervalles de confiance. Bonne lecture !

[fabio123]

Merci ggO,

J'avais oublié en effet que la variance pour "y barre" était égale à Var(Y)/n, d'ou le facteur sigma(Y)/sqrt(n).

1) En fait, quand on dit qu'on s'écarte de 2 sigma par rapport à l'espérance, on sous-entend que l'on s'éloigne de 2*sigma(Y)/sqrt(n), c'est bien cela ?

2) J'ai une autre question concernant un estimateur qui est le ratio de la somme de n variables aléatoires + un bruit (un bruit blanc encore appelé white noise Bsp et B_ph).


L'estimateur appelé "grand 0 barre" :

avec


et



et



aussi :



Les variables aléatoires sont les et

Si j'applique un facteur n/n sur ce ratio, ce qui ne change rien sur l'expression, alors je fais apparaître la moyenne des et .

1) Est-ce qu'avec n assez grand, je peux me servir du Théorème central limite pour le numérateur et le dénominateur. Si oui, la variance sur leur moyenne va être beaucoup
plus petite que si je ne faisas pas de sommation sur les . J'aurais un gain de , n'est-ce pas ?

2) Mais ce qui m'intéresse le plus, c'est de calculer la variance de l'estimator Ô. Le théorème central limite est valable car je multiplie par n/n, faisant ainsi apparaître la variance pour le numérateur et le dénominateur par le thérème central limite.

3) on parle de précision avec le ratio sigma(X)/E(X) (voir mon premier post) : si je l'applique au numérateur par exemple, j'aurais une précision de .

Mais qu'en est-il de la précision sur le ratio de l'estimator "Ô" ? et pas seulement la précision sur le numérateur ou le dénominateur ?

Comment quantifier le gain en faisant la somme des au numérateur et dénominateur ?

Merci par avance.

[gg0]

Bonjour.

Pour la première partie :
1) "quand on dit qu'on s'écarte de 2 sigma par rapport à l'espérance" c'est qu'on s'écarte de 2 sigma par rapport à l'espérance. Mais ton texte ne dit pas ça. est une lettre qui peut servir de variable; ce n'est pas un synonyme de "écart type"
Pour la deuxième partie : Je ne comprends pas grand chose à tes notations, il y en a trop, et ça correspond à un problème que tu ne donnes pas. J'essaie quand même de donner quelques indications. Si ça ne correspond pas à ta problématique, laisse courir.
1) Le théorème central limite s'applique pour des sommes de variables aléatoires de même ordre de grandeur et indépendantes (*). Rien à voir avec la moyenne.
2)
3) Je ne comprends pas pourquoi. D'ailleurs si tu as divisé par n, aussi bien sigma(X) que E(X) ont été divisés par n, donc la précision ne change pas. Enfin on ne voit pas pourquoi la précision ne dépendrait pas des mesures !

Je crois bien que tu vas avoir en priorité à apprendre les mathématiques de l'estimation, plus généralement des variables aléatoires. Ce ne sont pas trois idées floues sur le domaine qui te permettront de traiter ta situation. Et un forum n'est pas le bon endroit pour apprendre un très grand chapitre des stats.
par contre, si tu étudies un cours de stats et que des détails te bloquent, reviens, on essayera de t'aider à comprendre.

Cordialement.

(*) sous certaines conditions, une faible dépendance ne pose pas de problème.

[A voir en vidéo sur Futura]