Espaces courbes

[Limaongle7]

Pour moi c'est les espaces courbes de Riemann. Ou du moins ce que je crois en savoir.
Question n°1: est ce que les constantes de l'espace euclidien, pi, e, ... sont modifiées dans leur valeur, dans les espaces courbes?
Question n°2 : Si on trace un triangle sur une sphère, est ce que la somme des trois angles fait toujours 180° ?

C'est juste une petite approche pour mieux comprendre. Par exemple, à la surface d'une sphère, la droite, qui est le chemin le plus court entre 2 points, est un arc de cercle.
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[Limaongle7]

Pardon, j'ai oublié :
Bonjour .

[Limaongle7]

Merci . svp .

[Deedee81]

Salut,

Pour moi c'est les espaces courbes de Riemann. Ou du moins ce que je crois en savoir.

Pas seulement. On peut aussi définir la notion de courbure pour d'autres espaces. Mais les variétés riemanniennes sont assez connues (et utilisées, surtout en physique).

Question n°1: est ce que les constantes de l'espace euclidien, pi, e, ... sont modifiées dans leur valeur, dans les espaces courbes?

Non, ce sont des constantes définies indépendamment de l'espace considéré. Mais bien entendu le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle (une fois celui-ci proprement défini) pourrait être autre chose que pi

Question n°2 : Si on trace un triangle sur une sphère, est ce que la somme des trois angles fait toujours 180° ?

Avec les triangles sphériques, non. Prend par exemple le triangle formé de la longitude 0°, l'équateur et la longitude 90° (les trois sommets étant le pole nord par exemple et les deux points d'intersection avec l'équateur). On a trois angles droits. Donc la somme fait 270°.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Par exemple, à la surface d'une sphère, la droite, qui est le chemin le plus court entre 2 points, est un arc de cercle.

mais pas n'importe quel cercle, un cercle contenu dans un plan qui contient aussi le centre de la sphère.

Comme un cercle de la sphère n'a ni intérieur ni extérieur (des deux côtés on a des parties bornées) on ne peut pas vraiment parler de son aire.

[Deedee81]

Holà, je l'avais pas vu ça. Merci Missjenny,

mais pas n'importe quel cercle, un cercle contenu dans un plan qui contient aussi le centre de la sphère.

Pour d'éventuelles recherches : voir grands cercles.
(edit : et plus généralement : géodésiques)

Comme un cercle de la sphère n'a ni intérieur ni extérieur (des deux côtés on a des parties bornées) on ne peut pas vraiment parler de son aire.

Et pire même un disque peut poser des difficultés. Enfin, pour la sphère ça va (calotte sphérique) mais dans certaines géométries ça peut être vachement ambigu de parler de l'aire.
Y a des trucs parfois très abstraits dans ce domaine (mais c'est passionnant )

Merci pour ton intervention.

[MissJenny]

Il y a des géométries plus exotiques que celle de la sphère. Par exemple celles où on part d'un espace euclidien mais où on se donne une norme quelconque. On peut redéfinir la notion de segment de droite, donc celle de convexité (la "d-convexité"), etc. Il y a des choses surprenantes.

[Deedee81]

Il y a des géométries plus exotiques que celle de la sphère. Par exemple celles où on part d'un espace euclidien mais où on se donne une norme quelconque. On peut redéfinir la notion de segment de droite, donc celle de convexité (la "d-convexité"), etc. Il y a des choses surprenantes.

En effet, norme et donc métrique. Et ci-dessus j'ai failli dire que pour les espaces métriques il y avait moins de surprises, me suis vite retenu heureusement : bref on dit vite des âneries dans ce domaine
(enfin, surtout moi qui suis plus physicien que mathématicien, même si ce sont des disciplines soeurs )

[Limaongle7]

Merci pour vos éclairages.
Les constantes pi et e, sont définies dans IR. Pour moi il y a une corrélation entre IR et l'espace affine euclidien. Je me disais donc que la valeur de ces constantes variaient dans des espaces non-euclidiens. Et même que la valeur de ces constantes à elles seules pouvaient définir le type d'espace Mais ce n'est qu'une intuition, une lubie.

[Deedee81]

Salut,

Mais ce n'est qu'une intuition, une lubie.

... et un réflexe. Après tout, pi, au départ a été définit en géométrie. Mais c'est surtout historique.

[gg0]

Oui,
et le lien "valeur de pi/géométrie" est que justement on a défini ce nombre pi en géométrie euclidienne (et pour cause, il n'y en avait pas d'autres). Puis deux géométries non euclidiennes (mais basées sur les mêmes axiomes que Euclide, sauf celui des parallèles) ont été découvertes, avec des valeurs du rapport du périmètre du cercle au rayon variable, donc exit pi. A la même époque sont apparues des géométries sans cercle, comme la géométrie projective. Puis très vite (historiquement) on a classifié les géométries par leur groupes de transformations (programme d'Erlangen) et généralisé la notion de "géométrie" avec ce qu'on appelle les variétés différentielles (généralisation de l'idée de géométrie sur une surface) d'une part, et la topologie et ses espaces métriques. Mais on est loin des postulats d'Euclide, il n'y a plus de droite et de plan.

Cordialement.

[MissJenny]

Les constantes pi et e, sont définies dans IR.

j'aurais dit que pi était défini de façon plus naturelle dans C (le corps des complexes).

[Deedee81]

Salut,

j'aurais dit que pi était défini de façon plus naturelle dans C (le corps des complexes).

+1

J'ai failli le signaler aussi. Beaucoup de chose sont tellement plus élégantes dans le corps des complexes. Et on connait tous le joli e^(i pi) = -1
(EDIT ce n'est pas une définition of course, juste joli)

[MissJenny]

La formule qui plaisait tant à Euler est 0 = 1 + e^(i pi) : elle contient less cinq nombres les plus importants (selon Euler) : 0, 1, i , e, pi et les trois opérations : addition, mulitplication et exponentiation.

[Deedee81]

La formule qui plaisait tant à Euler est 0 = 1 + e^(i pi) : elle contient less cinq nombres les plus importants (selon Euler) : 0, 1, i , e, pi et les trois opérations : addition, mulitplication et exponentiation.

C'est le même Mais oui c'est sous cette forme qu'on la donne normalement (pour la raison que tu invoques).

[stefjm]

j'aurais dit que pi était défini de façon plus naturelle dans C (le corps des complexes).

[gg0]

Bonjour.

Il me semble difficile de définir la fonction sur les complexes avant d'avoir . D'autant qu'il y a diverses définitions et diverses fonction ; toutes celles que je connais utilisent .
Mais on peut définir avec les complexes sans , par exemple comme la plus petite solution non nulle de où est réel (et défini par sa série complexe).

Cordialement

[stefjm]

Bonjour,
Je n'ai pas assez de recul pour arriver à comprendre cet ordre dans les définitions.
J'ai vraiment l'impression que c'est très difficile à formaliser proprement et que du coup, avoir sin, c'est avoir pi.
Sin ou exponentielle complexe : même combat.
Fonction réciproque de sin ou exp : Idem.

Cela me rappelle des discussions intéressantes où tout tourne en rond : Cela dépend de ce qu'on choisit comme point de départ et ensuite, cela tourne...

Si vous voyez ce que je veux dire par là ?

[Deedee81]

Salut,

Tu peux définir sin comme pure série, sans avoir le moindre besoin de "cercle" donc de pi. Ca revient strictement à définir pi comme une série.
Et ça n'a rien de difficile à formaliser.
Dans wikipedia on donne diverses séries et intégrales qui permettent de définir pi.
Et de là on ne tourne pas en rond (en fait on ne tourne jamais en rond quand on fait vraiment des maths ).

Et donc ça n'a rien de difficile avec sinus ou exponentielle. Par contre pour le logarithme sur les complexes il y a un soucis car il il y a plusieurs définitions.

Cela me rappelle des discussions intéressantes où tout tourne en rond : Cela dépend de ce qu'on choisit comme point de départ et ensuite, cela tourne...
Si vous voyez ce que je veux dire par là ?

Oui ça tourne en rond car en pas tu ne fais pas que des maths, en physique tu ne fais pas que de la physique (*), etc... etc... Tu es spécialiste de ce genre de chose

(*) ce n'est pas une critique, la pluridisciplinarité est une qualité, mais on est sur un forum thématique et quand on sort des thématiques ça donne de la bouillie pour chat. Faut savoir s'adapter à l'environnement

[stefjm]

Oui ça tourne en rond car en pas tu ne fais pas que des maths [...]

Ça, je le reconnais volontiers...

Je dirais que je finis toujours par admettre un point de raisonnement pour lequel la démonstration "facile et habituelle" demande un autre point et ça tourne...
En gros, j'ai du mal à voir la construction en partant du minimum.

D'ailleurs, je ne sais même pas si ce minimum existe, ni même si ce que je raconte ici peut avoir du sens?

[Deedee81]

Je dirais que je finis toujours par admettre un point de raisonnement pour lequel la démonstration "facile et habituelle" demande un autre point et ça tourne...
En gros, j'ai du mal à voir la construction en partant du minimum.

Ca c'est un autre soucis. Ca peut être lié à la difficulté de l'abstraction et la difficulté des maths en général. Il m'arrive aussi parfois d'être extrêmement perplexe, surtout dans le forum logique d'ailleurs, je ne suis pas mathématicien.
Déjà en math il n'y a pas de notion de "minimum" (enfin, dans le sens utilisé ici bien sûr ). On part de X et on arrive à Y, et peu importe X (il peut être imposé par un exercice, il peut être un choix arbitraire, il peut être habituel comme lorsqu'on travaille avec les axiomes de ZFC, ou juste une illustration). Il en est de même de la notion de "simplicité". C'est des notions humaines, pas mathématiques.

Maintenant il peut être intéressant de voir des tas de constructions/démonstrations différentes. Ca donne une vue plus profonde du théorème/problème considéré. C'est aussi le cas des différentes formulations physiquement équivalentes de théories en physique.

Mais évidemment si on n'arrive pas à choisir X on fait comme l'âne de Buridan : on tourne en rond (*).

D'ailleurs, je ne sais même pas si ce minimum existe, ni même si ce que je raconte ici peut avoir du sens?

Pour moi oui, jusqu'ici

(*) figure-toi que ça arrive même en informatique. Un client avait besoin d'un algorithme liant les bons de commandes clients avec les bons de réception fournisseur. Il y avait quelques contraintes (la plupart évidentes). J'ai proposé trois algorithmes au client : à chaque fois il disait non, ça ne convient pas.... et il s'est avéré que :
- il n'y avait que ces trois algorithmes possibles (j'ai même pu le démontrer, c'est quand même rare ça )
- ça tournait en rond en fonction des "ça ne convient pas car blablabla"
Heureusement là il existait une cale bloquant la roue : le patron

Bref le client cherchait un algo.... impossible. Ca arrive

[gg0]

Bonjour Stefjm.

Il existe des constructions cohérentes des mathématiques, qui demandent de bien les suivre. Une est ancienne, c'est celle de Bourbaki. Qui reprend tout à la base. Pour du plus récent qui ne reprend pas tout à la base, tu as le célèbre cours de classes prépas de Ramis-Oddoux-Deschamps.
Dans les deux cas, le sinus n'est pas défini à partir du cercle, pi non plus, et les liens entre pi et le périmètre ou l'aire du disque sont des conséquences assez rapides.
Et on ne tourne pas en rond.

Par contre, les deux définissent la fonction logarithme népérien pour les réels strictement positifs, mais pas pour les complexes, faute d'une définition utile. Simplement parce que l'exponentielle complexe est périodique, donc n'a pas de réciproque. Et que les réciproques partielles peuvent être définies de façon utile de différentes façons suivant les besoins.

Cordialement.

[stefjm]

Merci pour les références.
Fut un temps où j'avais essayé de lire Bourbaki, mais cela m'avait rebuté. J'étais trop jeune probablement et pas assez formaliste et rigoureux.

Faudrait que j'essaie le Ramis-Oddoux-Deschamps.

Par contre, les deux définissent la fonction logarithme népérien pour les réels strictement positifs, mais pas pour les complexes, faute d'une définition utile. Simplement parce que l'exponentielle complexe est périodique, donc n'a pas de réciproque. Et que les réciproques partielles peuvent être définies de façon utile de différentes façons suivant les besoins.

Avec cet argument, on ne définirait pas non plus les réciproques de sinus et cosinus, si pratique en intégration entre autre choses.
Genre : https://www.wolframalpha.com/input/?...t%281-x%5E2%29

[Deedee81]

Avec cet argument, on ne définirait pas non plus les réciproques de sinus et cosinus, si pratique en intégration entre autre choses.

Non, relit, il a dit "complexe est périodique". Sur les réels c'est souvent moins compliqué, ici on travaille sur un intervalle et le tour est joué. Mais le fait est que si on était tatillon il y a aussi une infinité de manière de définir la "réciproque" pour sinus et cosinus (vérifie, c'est trivial)

Par contre avec les complexes c'est souvent plus.... complexe (sans jeu de mots) et là, définir "une réciproque" est nettement plus ambigu. Regarde la surface de Riemann pour les logarithmes complexes et tu vas tout de suite voir.
Et donc on adopte les définitions du logarithme complexe en fonction de l'usage.

(je met des guillemets à réciproque car ces fonctions n'ont à strictement parler pas de réciproque)

[stefjm]

Non, relit, il a dit "complexe est périodique". Sur les réels c'est souvent moins compliqué, ici on travaille sur un intervalle et le tour est joué. Mais le fait est que si on était tatillon il y a aussi une infinité de manière de définir la réciproque pour sinus et cosinus (vérifie, c'est trivial)

Bien sûr qu'il y a une infinité de réciproque pour sinus. Ce n'est pas pour cela qu'on ne définit pas un arcsin particulier.
Arctan, arcsin et arccos s'expriment très bien en fonction d'un ln complexe et c'est logique vue les séries entières qu'il y a derrière.

[gg0]

Bon,

si tu tiens à manipuler des expressions malsaines, je te laisse faire ... et te tromper. J'aurai essayé de te prévenir.
Un des pièges classiques est que la formule ln(ab)=ln(a)+ln(b) ne fonctionne plus. Ce qui fait que l'utilité du logarithme baisse fortement.

On a la même situation avec la racine carré : Appliquée aux réels positifs, elle a de nombreuses propriétés utiles. Si on l'étend aux complexes, par une règle ad hoc, on perd toutes ces propriétés. C'est pour cela qu'en général, on préfère parler "des racines carrées" d'un complexe, sans utiliser la notation radical. Dans le même genre, sur un autre forum, quelqu'un ne comprenait pas pourquoi, en divisant par 2 une mesure d'angle, il ne trouvait pas une mesure d'angle. C'est la même raison !
Attention : les logiciels formels font du calcul formel, donc donnent une définition ad-hoc des racines carrées et logarithmes d'un complexe. Mais l'utilisateur averti sait que c'est à lui de vérifier que les calculs formels faits par le logiciel sont ceux qu'il voulait.

Cordialement.

[stefjm]

L'exemple de la racine carré pose déjà des soucis sur les réels où il faut choisir la racine positive (et ne pas oublier l'autre si besoin).

J'ai bien conscience que c'est casse gueule, mais j'aime bien aller en montagne sur des chemins marqués : "chute interdite".

[gg0]

Non, pas de souci pour les réels positifs, il y a une définition précise utilisée depuis des millénaires (donc conservée). Le souci est seulement, comme toujours en maths, d'appliquer strictement la définition.

[gg0]

Tu peux aller sur les sentiers dangereux, mais il vaut mieux éviter d'y entrainer d'autres, comme dans ton message #16 : Ils n'ont peut-être pas l'expérience, ni le pied sûr.

Cordialement.

[Deedee81]

Ce n'est pas pour cela qu'on ne définit pas un arcsin particulier.

Hé bien, c'est ce que je disais. Tu as vraiment tout lu ???? (vu que tu te contentes de me répéter, j'ai un sérieux doute)