Trouver une fonction à partir de son gradient

[Brinicle]

Bonjour,

Dans le cadre d'un projet numérique, je dois trouver une fonction à partir de son gradient :





Évidemment, il s'agit d'un projet numérique, je n'ai donc pas trois fonctions p,f et g mais trois vecteurs P,F et G. je ne peux pas intégrer directement ces deux équations, j'ai donc pensé à "discrétiser" mes opérateurs d/dx et d/dy par deux matrices D_x et D_y :




Évidemment, comme les deux premières équations n'ont pas une unique solution, ces matrices sont singulières. Mon idée à ensuite été d'utiliser le laplacien, discrétisé par la matrice A (=D_x²+D_y²) :



Je peux résoudre cette équation et ainsi trouver P. Mais, le problème est que je peux ajouter à cette solution toute solution de l'équation de Laplace, cela ne changera pas son laplacien. Or la fonction p est définie à une constante près et les solutions de l'équation de Laplace n'ont pas nécessairement un gradient nul.

Comment faire pour trouver P ?
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[Resartus]

Bonjour,
Si on parle bien de gradient, p n'est pas un vecteur mais un scalaire. Et il n'existe qu'une seule fonction scalaire (à une constante additive prés) répondant à la question. C'est ce qu'on appelle en physique une fonction potentiel scalaire

L'intégration numérique peut se programmer très simplement, puisqu'en tout point vous connaissez les deux dérivées partielles. Mais ce n'est pas la méthode la plus précise. Il vaut mieux utiliser des algorithmes qui prennent aussi en compte les 4 dérivées autour du point de calcul. On doit trouver cela facilement sur internet

[Brinicle]

Oui, je sais que p n'est pas un vecteur, mais numériquement, j'ai besoin de N² valeurs de celui-ci que je peux mettre dans un "vecteur" (en fait plutôt un tableau) de taille N².
Pour intégrer numériquement, il me faut une condition initiale, ce que je n'ai pas.

[Resartus]

Bonjour,
p est définie à une constante additive prés, ce qui ne changera pas le gradient.
Imposer la valeur de p en un point quelconque suffit donc pour déterminer cette constante
En physique, on fixe souvent cette constante pour que le potentiel soit nul à l'infini, ou sur un des points frontière du domaine, ou sur un centre de symétrie
A vous de voir quelle est le point de valeur imposée le plus pertinent pour votre question

[A voir en vidéo sur Futura]