Exo formes linéaires

[Marmus1021]

Bonjour !
Je sèche sur un exercice qui ne devrait pas être trop compliqué, à propos des formes linéaires :
Soit E un K-espace vectoriel. Soit f,g∈E* telles que ∀x∈E, f(x)g(x)=0. Montrer que f=0 et g=0.

Je pensais le faire par l’absurde :
Fixons x,y ∈ E tels que f(x)≠0 et g(y)≠0.
Je pense qu’on doit pouvoir trouver une absurdité avec x+y par exemple, mais je n’arrive pas vraiment à avancer. Surtout je n’arrive pas bien à manipuler les ≠, on n’a pas le droit de multiplier de part et d’autre d’un ≠, n’est-ce pas ?

Voilà je veux bien que vous m’aidiez, et joyeuses fêtes en avance à ceux qui me liront
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[Anonyme007]

Bonjour,

est un -espace vectoriel. Qu'est ce que ? Un corps fini ? Un corps de quelle caractéristique ?

Cordialement.

[Marmus1021]

Bonjour, je suis en maths sup donc je n’ai pas encore vu les caractéristiques. Et donc K est un corps infini (Q, R, ou C)

[Anonyme007]

D’accord.

Soit E un K-espace vectoriel. Soit f,g∈E* telles que ∀x∈E, f(x)g(x)=0. Montrer que f=0 et g=0.

Il me semble qu'il y a une erreur dans l'énoncé.
Il fallait dire,
- Montrer que ou .
et non,
- Montrer que et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Marmus1021]

Ah oui en effet j'ai mal recopié excusez-moi..
Et donc comment résoudre cet exercice ?

[gg0]

Bonsoir Marmus1021.

"on n’a pas le droit de multiplier de part et d’autre d’un ≠, n’est-ce pas ? " Si ! Lorsque x ≠ y, alors 2x ≠ 2y. C'est une conséquence des propriétés habituelles de l'égalité.
Et tu peux partir de f≠0, donc de l'existence d'un x non nul tel que f(x) ≠ 0. Tu en déduis g(x)=0. Puis en supposant que g n'est pas nul, aboutir à une contradiction.

Cordialement.

[MOHAMED_AIT_LH]

Bonjour !
Je pensais le faire par l’absurde :
Fixons x,y ∈ E tels que f(x)≠0 et g(y)≠0.
Je pense qu’on doit pouvoir trouver une absurdité avec x+y par exemple, mais je n’arrive pas vraiment à avancer.

Bonjour. Oui c'est bien: comme , on a . Utilise la linéarité de et après avoir donné la valeur de et . Tu trouveras une contradiction.

[MissJenny]

si f est non nulle son noyau est un hyperplan de E, et de même pour g. On doit donc montrer que la réunion de 2 hyperplans n'est jamais l'espace entier. S'ils sont confondus c'est évident, sinon il existe x dans l'un et pas dans l'autre et y dans le second et pas dans le premier (car un hyperplan ne peut pas être strictement inclus dans un autre hyperplan), etc.

[Marmus1021]

MERCI j’ai réussi avec vos indications !
Mais petite question pour MissJenny : lorsqu’un hyperplan n’est pas inclus dans l’autre, comment montre-t-on que leur réunion ne vaut pas l´espace entier E ? Je ne trouve pas explicitement d’elements de E qui ne soit pas dans FUG.

[MissJenny]

Tu considères x dans F\G et y dans G\F alors x+y n'est ni dans F ni dans G car si par exemple x+y était dans F alors y = (x+y) - x serait aussi dans F (car F est un sous-groupe du groupe additif de E).

[MOHAMED_AIT_LH]

Généralement si est un espace vectoriel et et et deux sous-espaces vectoriels de , on a:

Encore, plus généralement si tel que et des sous-espaces vectoriels de on a:

[invited98eba5a]

salut

Si f est supérieur à zéro, le noyau est un hyperplan de E, et vice versa. En conséquence, nous devons démontrer que l'union de deux hyperplans n'est jamais l'espace entier. C'est évident s'ils sont confus; sinon, il y a x dans l'un mais pas dans l'autre, et y dans le second mais pas dans le premier (puisqu'un hyperplan ne peut pas être rigoureusement inclus dans un autre hyperplan), et ainsi de suite.

[gg0]

Bonjour Donlexinder24.

Tu interviens après la bataille ! Ce que tu écris a déjà été dit.
Attention : f supérieur à 0 n'a pas de sens (si f est non nulle, elle prend des valeurs négatives).
Autre chose : on ne dit pas confus mais confondus.

Cordialement.