Presqu'entiers et demisur l'horizon

[stefjm]

Bonjour,
Je me suis intéressé au rayon d'horizon d'un bâton de longueur , posé vertical sur une boule de rayon .
Le calcul n'est pas bien difficile et j'ai trouvé comme relation entre le rayon de la boule et le rayon d'horizon :



En cherchant R à partir de valeurs entières de r, j'ai constaté qu'à partir de r=20 (en gros), on obtient pour R des valeurs presqu'entières ou presque demi-entières.
Les deux autres racines complexes convergent vers -1.

Je n'ai pas la moindre idée du pourquoi et Alpha ne m'a pas beaucoup aidé sur ce point.

https://www.wolframalpha.com/input?i...%3D%28r%29%5E2

Auriez vous une piste pour me décoincer?

En bonus, pour r=2.3.5.7.(2+3+5+7)+1, on obtient une très bonne définition du mètre (celui des physiciens)!

Cordialement

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[gg0]

Bonjour.

Pour ma part, de 20 à 400, je n'ai trouvé que des valeurs valant environ r²/2+1,5.
Je n'ai pas d'idée du pourquoi.

Cordialement.

[jacknicklaus]

j'ai constaté qu'à partir de r=20 (en gros), on obtient pour R des valeurs presqu'entières ou presque demi-entières.

un DL, pour R >> 1, donne au 1er ordre donc si r entier ca fait que 2R l'est aussi...

[gg0]

Bien vu !

Et on a même, en prolongeant 2R-3 + O(1/R), voire 2R-3 + 4/R+O(1/R²).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Merci.
Oui, j'ai été très surpris par l'allure de la courbe : Je ne m'attendais pas à ce que ce soit aussi linéaire!

https://www.wolframalpha.com/input?i...%2B1%29%29%5E2

La série à l'infini est sacrément particulière!

[stefjm]

un DL, pour R >> 1, donne au 1er ordre donc si r entier ca fait que 2R l'est aussi...

Et en affinant avec le 3, il faut que r soit impair pour que R soit entier, sinon, R est demi entier.

2*R-3=r^2

r = 2 n + 1, R = 2 (n^2 + n + 1) , n dans Z
r = 2 n , R = 2n^2 + 3/2 , n dans Z

[stefjm]

Oups!
Oubli d'un signe.

[stefjm]

Bonjour,
Je suis surpris que la relation approchée entre rayon d'un cercle et rayon d'horizon pour une hauteur donnée (ici 1) ne soit pas plus "connue" et utilisée, vue sa précision et sa simplicité.
En particulier en géodésie.

2.R = r^2 + 3

L'aviez-vous déjà rencontrée?

[gg0]

Bonjour.

Non, ce n'est pas étonnant, en géodésie on est sur la surface de la Terre (ou d'une planète), donc r n'est pas accessible. C'est l'arc correspondant qui est directement connu. A condition de pouvoir déterminer exactement où est l'horizon, vu de 1m de haut. Délicat !

Cordialement.

[stefjm]

Pour de petites hauteurs, l'arc et r peuvent se confondre. Pour 10m, cela joue au 1mm.
La définition du mètre avec la terre et des entiers me plait bien...

[Médiat]

Bonjour,

La formule très utilisée par les marins (il fut un temps) est distance de l'horizon , avec h en mètres et distance en miles marins.

[stefjm]

Merci.
Cela colle avec ma relation exacte



approximée avec r petit devant R en

en mètres
en miles marins.

Deux entiers pour définir le mètre et le mile marin en se passant du périmètre 40 000 000 m un peu artificiel!
Avec (3571/83)^2 qui définit le mile marin en mètres.

le mix des deux unité donne joliment

[stefjm]

Bonjour,
2.R = r^2 + 3

Bonsoir,
Toujours à 1 de hauteur, je trouve sympa la relation qui utilise le pair (2) et l'impair (3).


J'ai un peu creusé et j'ai trouvé des trucs qui m'intriguent.

Je note
la hauteur pour l'horizon
: rayon de la terre
: rayon d'horizon
: le n-ième nombre de Lucas



On a

Je choisis , nombre premier pour définir le mètre à partir des nombres de Lucas 17 (et 34) avec une précision physique honorable.
On a alors


Le rayon R-1 obtenu est aussi premier.

Ce rayon R-1 est somme de deux carrés qui se suivent.


car


Le rayon R-1 obtenu est aussi triplet pythagoricien primitif.


car


On peut aussi noter que et

Comme d'habitude, j'ai du mal à faire la part entre coïncidence et mathématique, d'où mon post ici.
Cordialement

[stefjm]

On peut aussi noter le lien entre les nombres de Lucas et les puissances presqu'entières du nombre d'or.






J'en avais causé dans science ludique : https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post6915998

[stefjm]

Bonjour,
Auriez-vous une idée du pourquoi on a cela, avec somme et produit des 4 premiers nombres premiers : https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post6894711

La forme que je trouve la plus aboutie, avec le nombre d'or, son conjugué et le 17ième nombre de Lucas 3571.





avec la fraction continue



https://www.wolframalpha.com/input/?...2*3*5*7%29%2B1

Cordialement