homomorphisme d'anneaux

[MissJenny]

bonjour à tous,

on connaît l'anneau Z et l'anneau 2Z={2x,x dans Z}. Est-ce que l'application Z->2Z, x->2x est un homomorphisme d'anneaux? (en fait je me demande s'il faut que 1->1)
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[gg0]

Bonjour.

Soit f ton application.


Cordialement.

[MissJenny]

ah oui c'est juste.... donc il n'y a pas d'homorphisme de Z->2Z hormis l'application nulle? ou bien même celle-là n'est pas valide.

[gg0]

Tout dépend de la définition d'anneau. Quand j'étais étudiant j'ai appris les notions d'anneau et d'anneau unitaire (avec une unité), mais actuellement, on parle plutôt de pseudo-anneau et d'anneau (avec unité). Dans ce dernier cas, les morphismes d'anneau conservent l'unité; mais l'application nulle reste un morphisme de pseudo-anneau, me semble-t-il.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Tout dépend de la définition d'homomorphisme, si c'est une application de Z dans 2Z (tous les éléments de Z ont une image), il est clair que "l'application" vide ne convient pas.

[Médiat]

Un point supplémentaire : le contre exemple de gg0 marche très bien, mais il ne faudrait pas croire que c'est lié à l'élément neutre, par exemple

[gg0]

Médiat, il s'agissait de l'application nulle : n-->0.

Cordialement.

[Médiat]

oops, j'ai lu trop vite.


Dans ce cas, dans le langage (+, x) l'application nulle (qui n'est pas nulle du tout, d'où ma lecture trop rapide) est bien un morphisme, si on ajoute 0 et 1 dans le langage, cela devient plus subtil et dépend si des symboles de constantes différents doivent s'interpréter comme des objets différents ou non.

[gg0]

Il n'y a pas de problème de ce genre dans la question de MissJenny.

Cordialement.

[Médiat]

Si, même si elle l'ignore, la notion de morphisme est directement liée à la notion de langage (pas d'axiomes), la question de savoir quel langage est utilisé est donc cruciale et morphisme d'anneau n'est pas suffisant, car plusieurs langages sont possibles (dans 99.99% des cas cela n'a pas d'importance, mais dans le cas de {0}, cela en a).

[MissJenny]

je connais très mal ces notions. Je me posais la question de caractériser tous les anneaux qui ont le même corps des fractions. Sont-ils isomorphes? non puisque Z et 2Z ont le même corps des fractions. Mais y a-t-il quelque-chose de commun? ils ont je pense le même cardinal mais au-delà je ne vois rien d'évident.

[Médiat]

Je n'ai pas de réponse à cette question, mais le problème de la caractéristique est certainement crucial, et dans le cas d'un anneau non commutatif, c'est sans doute une question "pas simple" (voir les anneaux d'Ore).