Question démonstration p-groupe

[math47]

Bonjour,

Comment peut-on montrer que tout sous groupe d'un p-groupe est un p-groupe ?

Merci d'avance,
Bonne journée
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[Médiat]

Quels sont les ordres des éléments d'un sous-ensemble d'un p-groupe ?

[math47]

Ils sont d'ordre p ? (je n'ai pas fait de cours là-dessus pour l'instant)

[Médiat]

Non, pas forcément.
Commencez par le cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Déjà les explications dans wikipedia sont très bien. On voit bien l'ordre des éléments d'un p-group et la conclusion à la question est alors presque immédiate.

[math47]

Merci de vos réponses.

D'après Wikipédia : "tout élément a pour ordre une puissance de p" ie. tout x d'un p-groupe G on a : ordre(x) = pⁱ = e pour un certain i >= 1.

Montrons que tout sous groupe d'un p-groupe est un p-groupe :

_Tout sous-groupe H d'un p-groupe G contient 1 car p⁰ = 1.
_Pour tous x,y de H, ordre(xy) = pⁱp^j = p^i+j qui est bien dans H.
_Soit x dans H. Montrons que x^-1 est dans H.
ordre(x) = pⁱ or ordre(x^-1) = p^-i qui est bien dans H.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce correct ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

[Médiat]

Je pense que démontrer qu'un sous-groupe est un sous-groupe est une grosse perte de temps

[math47]

C'est à dire que j'ai pas eu de cours sur les p-groupes mais on a un exercice à rendre sur les propriétés des p-groupes. Pour une question il faudrait (je pense) utiliser que tout sous groupe d'un p-groupe est un p-groupe mais comme c'est pas dans mon cours je suis parti du principe qu'il fallait que je le montre d'abord...

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Et qu'as-tu démontré dans le message #6 ? Que H ....

[math47]

Ah oui ça montre pas du tout que c'est un p-groupe en fait...

[math47]

Pour montrer que H est un p-groupe il faut d'abord montrer que c'est un groupe : Comme H est un sous groupe de G et qu'il est stable par la loi . alors c'est un groupe.

Ensuite, il faut montrer que tout élément de H a pour ordre une puissance de p. Comme l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe (ordre(H) = pⁱ), on a : soit x dans H, ordre(x) = p | pⁱ ie. pⁱ = qp et là je ne vois pas quoi faire...

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance,
Bonne soirée

[Deedee81]

Salut,

Que tu n'as pas vu l'astuce qui est pourtant vraiment visible.

Tu as l'ordre des éléments du groupe (le p-groupe).
Soit un sous-groupe quelconque H, quels sont alors l'ordre de ses éléments ? (c'est évident suite à la définition d'un sous-groupe (*)).
Et d'après la définition d'un p-groupe alors on peut dire que H... (immédiat)

P.S. c'est quand même bizarre d'avoir un exercice sur les p-groupe s sans avoir vu les p-groupes. Les profs sont bizarres Ils veulent sans doute inciter à réfléchir et faire des recherches.
En tout cas le premier réflexe que tu aurais dû avoir est "mais qu'est-ce qu'un p-groupe ? Allons voir wikipedia" (souvent suffisant)
(évidemment encore fallait-il voir l'astuce (*) ci-dessus, mais franchement j'aurais cru qu'elle se verrait comme le nez au milieu de la figure..... je précise que je ne suis pas spécialiste des groupes et je ne connaissais pas les p-groupes, ce n'est donc pas une déformation professionnelle )

[Deedee81]

Un exemple qui peut aider, c'est la même astuce (en plus simple).

Appelons groupe idempotent un groupe G dont tous les éléments sont idempotents.
Soit un sous-groupe H de G. Montrer que H est un groupe idempotent.

[math47]

Merci de vos réponses Deedee81 !

En fait tout sous groupe de G (p-groupe) est un p-groupe car H est inclus dans G et donc par définition de G tous les éléments de H ont pour ordre une puissance de p et donc H p-groupe.

C'est correct ?

Merci d'avance !
Bonne journée

[Deedee81]

C'est correct ?

Ca y est oui

[MissJenny]

En fait tout sous groupe de G (p-groupe) est un p-groupe car H est inclus dans G et donc par définition de G tous les éléments de H ont pour ordre une puissance de p et donc H p-groupe.

C'est correct ?

c'est correct mais ça pourrait être utile de rappeler pourquoi l'ordre d'un élément de H est le même que l'ordre d'un élément de G. Si x est élément de H (donc de G) son ordre dans H est l'ordre du groupe engendré par x, c'est-à-dire du plus petit sous-groupe de H contenant x. Son ordre dans G est l'ordre du plus petit sous-groupe de G contenant x. Or un sous-groupe de H est aussi sous-groupe de G (c'est le point qui manque à ta démonstration à mon avis).

[Deedee81]

c'est correct mais ça pourrait être utile de rappeler pourquoi l'ordre d'un élément de H est le même que l'ordre d'un élément de G. Si x est élément de H (donc de G) son ordre dans H est l'ordre du groupe engendré par x, c'est-à-dire du plus petit sous-groupe de H contenant x. Son ordre dans G est l'ordre du plus petit sous-groupe de G contenant x. Or un sous-groupe de H est aussi sous-groupe de G (c'est le point qui manque à ta démonstration à mon avis).

C'est vrai que c'est bon de le préciser (encore un truc que je trouvais faussement évident )

Merci

[MissJenny]

c'est assez évident en effet. Au fait ma justification n'est pas la bonne : ce n'est pas le fait qu'un sous-groupe de H soit ipso facto un sous-groupe de G qui importe, c'est le fait que puisque H est stable pour la loi de G, l'ensemble des x^i (le sous-groupe engendré par x) est dans H.

[math47]

Merci beaucoup à vous deux !