Limite uniforme en un point d'une application partielle.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Je souhaiterais savoir comment on fait en pratique, pour trouver la limite uniforme en un point d'une application partielle où, est une fonction numérique, et et sont deux ouverts de .
Je précise la définition de ce qu'est la notion de limite uniforme en un point d'une application partielle où, est une fonction numérique, et et sont deux ouverts de .

Définition,

Soient et sont deux ouverts de .
Soit .
Soit une fonction définie sur à valeurs dans .
Alors, par définition, est la limite uniforme en un point de l'application partielle si et seulement si,

.

Je précise par contre ( pour comparer ), la notion de limite simple en un point d'une application partielle où, est une fonction numérique, et et sont deux ouverts de .

Définition,

Soient et sont deux ouverts de .
Soit .
Soit une fonction définie sur à valeurs dans .
Alors, par définition, est la limite simple en un point de l'application partielle si et seulement si,

.

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

Si L est une limite uniforme, c'est une limite simple. Donc si on n'a pas d'autre théorème, on cherche la fonction limite simple en b, puis on justifie (si c'est le cas) qu'elle est limite uniforme.
Comme exemple d'autre théorème, si f est uniformément continue sur IxJ, alors f tend uniformément vers x-->f(x,b).

[Anonyme007]

Bonjour.

Si L est une limite uniforme, c'est une limite simple. Donc si on n'a pas d'autre théorème, on cherche la fonction limite simple en b, puis on justifie (si c'est le cas) qu'elle est limite uniforme.
Comme exemple d'autre théorème, si f est uniformément continue sur IxJ, alors f tend uniformément vers x-->f(x,b).

Merci beaucoup pour ta réponse gg0.
@gg0,
Est ce que tu peux me dire comment on démontre le théorème que tu cites et qui est le suivant,

Si L est une limite uniforme, c'est une limite simple.

Merci d’avance.

[gg0]

Aucun travail ! Si une propriété est vraie pour toutes les valeurs de x elle est vraie pour chaque x. Lis les définitions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Pardon, @gg0,

Le théorème que je cherche sa démonstration, est le suivant,

Si f est uniformément continue sur IxJ, alors f tend uniformément vers x-->f(x,b).

et non,

Si L est une limite uniforme, c'est une limite simple.

Merci d’avance.

[gg0]

Il suffit d'appliquer les définitions !! Bon travail personnel.

[Anonyme007]

Oui, c'est vrai, la réponse est immédiate @gg0. Je la rédigerai plutard si j'aurai un peu de temps.

Une autre question si je peux me permettre,
Est ce que si ( i.e ; est une fonction lisse à support compact dans ), alors, est uniformément continue sur ?

Merci d’avance.

[gg0]

Que sais-tu d'une fonction continue sur un compact ?

[Anonyme007]

Que sais-tu d'une fonction continue sur un compact ?

D’après le théorème de Heine, toute fonction continue sur un compact est uniformément continue, mais ici, est à support compact, elle n'est pas définie sur un compact, elle est nulle en dehors d'un compact.

[gg0]

Donc sur le compact ... et là où elle est nulle ... donc globalement ...

[Anonyme007]

Oui, c'est vrai, merci beaucoup gg0.
Donc, si , alors, est uniformément continue sur .

Même ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Support_de_fonction , on dit pareil. On dit que, sur un espace métrique, les fonctions continues numériques à support compact sont uniformément continues. C'est le théorème de Heine.

Cordialement.