Fonction continue.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Sur un autre forum de mathématiques, on propose l’exercice suivant que j'ai du mal à résoudre. Le voici,

Soit une fonction continue.
Montrer qu'il existe , tel que, , .

Bien que l'énoncé soit simple, on dit qu'il demande une bonne maitrise de cours d'analyse portant sur les suites et fonctions continues.

L'exercice est tiré du lien suivant, https://les-mathematiques.net/vanill...ts-de-lanalyse , mais, je ne peux pas avoir accès à ce site pour des raisons que je n’expliquerai pas ici, et donc, je ne peux pas aller leur demander le corrigé.

Merci d'avance pour toute indiction de votre part.
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[Anonyme007]

J'ai pensé utiliser le théorème qui figure ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._extr%C3%AAmes , mais, je ne sais pas si ça tient la route.
Merci pour toute aide de votre part.

[Merlin95]

Ben ya rien a dire de plus l'image de I (qui est bien un segment) par f est bien bornée, ca veut dire il existe un y0 tel que pour tout x de I(=[0, 1]), f(x)>=y0.
Même chose avec un y1, tel que f(x)<=y1

[Anonyme007]

Oui. C’est ça Merlin95. Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

On a mieux avec "l'image d'un compact par une application continue est un compact", non ? Enfin, pour moi, ça ma semble plus facile à utiliser pour montrer que .

[Anonyme007]

Bonjour albanxiii,

Merci pour ta réponse.

Bonjour,

On a mieux avec "l'image d'un compact par une application continue est un compact", non ? Enfin, pour moi, ça ma semble plus facile à utiliser pour montrer que .

Oui, est continue sur le compact , donc, est compact.

Par absurde, supposons que, . ( On a, , car, est fermé )

Alors, , car, , mais, ( Contradiction )

D'où, .

Donc, il suffit de poser, , et on , vérifiant l'exercice.

[albanxiii]

Votre raisonnement est inutilement compliqué et d'ailleurs je ne suis pas capable de dire s'il est correct ou non car noyé dans des notations abusivement compliqué. On dirait du Bogdanov.

Écrivez simplement à quoi doit être égal un compact se trouvant dans , cela suffit.