Galère intégrale

[Alphasaft]

Bonjour,

Je cherchais simplement des conseils pour majorer/minorer une intégrale entre des bornes fonction de x.
Par exemple (en fait, c'est celle de l'exercice que je veux résoudre, mais je vois d'ici qu'il y en a d'autres similaires, donc autant généraliser) :



On me demande de majorer f par



De ce que je vois sur Internet, et c'est ce que j'avais essayé de faire, il faut majorer exp(-x^2) par une fonction facile à intégrer (polynôme ? mais d'un autre coté l'intégrale d'un polynôme n'a jamais donné quelque chose qui comportait e...), intégrer cette dernière entre les bornes et aboutir à un résultat inférieur à xexp(-x^2). Problème, je ne trouve pas de fonction comme ça (j'avais essayé avec -3/7x^2 + 1, parce qu'une fois intégrée entre les bornes ça donne x(1-x^2), cependant exp(-x^2) n'est pas majorée par ça).

Merci d'avance pour toute piste !
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[Alphasaft]

J'ai oublié de préciser qu'on considère f et g uniquement sur R+ !

[MissJenny]

as-tu remarqué que la fonction t -> exp(-t^2) était décroissante entre x et 2x ( où x>=0) ?

[Archi3]

Bonjour,

Je cherchais simplement des conseils pour majorer/minorer une intégrale entre des bornes fonction de x.
Par exemple (en fait, c'est celle de l'exercice que je veux résoudre, mais je vois d'ici qu'il y en a d'autres similaires, donc autant généraliser) :



On me demande de majorer f par



De ce que je vois sur Internet, et c'est ce que j'avais essayé de faire, il faut majorer exp(-x^2) par une fonction facile à intégrer (polynôme ? mais d'un autre coté l'intégrale d'un polynôme n'a jamais donné quelque chose qui comportait e...), intégrer cette dernière entre les bornes et aboutir à un résultat inférieur à xexp(-x^2). Problème, je ne trouve pas de fonction comme ça (j'avais essayé avec -3/7x^2 + 1, parce qu'une fois intégrée entre les bornes ça donne x(1-x^2), cependant exp(-x^2) n'est pas majorée par ça).

Merci d'avance pour toute piste !

majorer par une fonction constante, ça peut marcher tu crois ? tu pourrais faire une petite représentation graphique de ta fonction et de la largeur de l'intervalle d'intégration pour savoir laquelle prendre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

NB il faut peut etre discuter suivant que x > 0 ou x < 0 ....

[gg0]

Bonjour Alphasaft.

"On me demande de majorer f par ..."
Tu es sûr que c'est f qu'il faut majorer ainsi ? Ou c'est l'intégrande ? Quel est ton énoncé précis ?

Cordialement.

[gg0]

Après relecture, je vois que l'idée proposée par MissJenny montre bien que pour x positif,

[Alphasaft]

Merci pour vos réponses.

Je dois avouer que je vois pas en quoi remarquer que k: t -> exp(-t^2) est décroissante sur R+ permet de résoudre le problème.
On peut utiliser ce résultat pour majorer exp(-t^2) par k(0) = 1, et donc f par x, mais il manque le facteur exp(-x^2). Non ?

[albanxiii]

Bonjour,

Il faut majorer sur un intervalle bien précis, pas sur R...

Pour moi, toujours faire un schéma !

[Alphasaft]

Je n'ai rien dit, je vois le début d'une piste
A creuser !

[gg0]

A priori, quand on veut majorer l'intégrale de f sur un intervalle I, on majore f sur I. "Je cherchais simplement des conseils", en voici un !!

[Alphasaft]

Je sais qu'il faut majorer t -> exp(-t^2) sur I, je ne sais juste pas trouver de majoration pertinente !
J'ai essayé mais je ne vois aucune fonction h(x) telle que xexp(-x^2) majore h(2x)-h(x) et que h'(x) majore exp(-x^-2)...

[Alphasaft]

J'ai trouvé ça, malheureusement ça ne marche que sur I = ]1;+oo[.

On pose h(x) = -xexp(-x^2), et h'(x) = (2x^2-1)exp(-x^2). On se place sur I.
On y vérifie h'(t) >= exp(-t^2).
En intégrant on obtient donc (toujours sur I, donc pour x >= 1) :

soit

Or h(2x) - h(x) - xexp(x^2) = h(2x) - h(x) + h(x) = h(2x) <= 0, d'où :



D'où la majoration sur ]1;+oo[, ne reste plus qu'à trouver sur [0;1].

Est-ce que c'est la bonne façon de faire (j'ai vu plusieurs indiquer qu'il ne fallait pas majorer sur R+ tout entier, d'où cette idée) ?

[gg0]

Avec les indications qu'on t'a donné c'est immédiat, pourtant. mais tu ne t'en sers pas directement (ou tu ne sais pas ce que veut dire "décroissante" :Sur [x,2x], la fonction est décroissante (car x est positif), donc

Et c'est fini.

Il ne suffit pas de demander, il faut aussi avoir la volonté d'utiliser les indications obtenues ....

[Alphasaft]

Je vous avoue que je n'aurai jamais pensé à ça, et pourtant ça fait sens, mieux encore c'est effectivement immédiat.

Je dois avouer que les intégrales me font "peur", dans le sens où c'est une notation relativement nouvelle qui ajoute une autre variable (t, bien que muette), donc que j'ai du mal à manipuler, même pour les calculs comme ici qui sont évidents...
Le point positif c'est que je comprends beaucoup mieux maintenant, et que je serais probablement en mesure de résoudre les exercices qui s'en approcheront à l'avenir.

Je m'excuse envers ceux qui m'ont donné des indications que je n'ai effectivement pas su exploiter, également merci beaucoup à gg0.