Bonjour à tous,
Je me trouve devant un problème d'optimisation d'une fonction dont l'ensemble de définition est discret (N ou Z en l'occurence), et je ne sais par quel bout le prendre.
On me donne 5 nombres 1, 3 ,5, 9, et 20 et l'expression A=(a+c)(b+d)e. Et on me demande d'optimiser A sachant que a,b,c,d,e sont affectés de manière biunivoque aux 5 nombres ci-dessus. Il y a 5! combinaisons de 5-uplets à essayer. Mais je suis sûr que cette methode laborieuse n'est pas la bonne. Il y a une astuce sans doute qui réduirait le nombre d'essais. Quelqu'un a-t-il une idée d'une methode générale pour résoudre ce genre de problème ?
J'ai procédé de la manière suivante:
J'ai suivi le raisonnement suivant:
la somme de a+b+c+d+e= 38 et je pose x=a+c et y = b+d
Il s'en suit que e=38-x-y
A peut donc s'écrire : A=x*y*(38-x-y) et la dérivée de A par rapport à x donne :
dA/dx= 38y-2xy-y²
dA/dy=38x-x²-2xy
Un optimum est obtenu si dA/dx=dA/dy=0, ce qui nous amène à résoudre le système 2x+y=38 et 2y+x=38 et entraine x=y=38/3=12.66
J'ai raisonné en randant la fonction continue sur un ensemble continu! Il ne reste donc plus qu'à composer les couples x=(a,c) et y=(b,d) de manière que x=a+c et y=b+d soient le plus proches de 12.66. Les couples (5,3) et (1,9) sont ceux dont les sommes de leurs composantes se rapprochent le plus de 12.66. D'où : A=(3+5)(1+9)20=1600 serait un maximum.
Mon raisonnement est-il juste ?
NB Les couples (9,3) et (5,1) dont les sommes respectives des composantes sont 12 et 6 connaissent un écart trop grand par rapport à la condition x=y=12.66 et donnent A=12*6*20=1440 <1600 !
Remarque: Dans cet exemple, j'ai bénéficié de la symétrie entre a et c et b et d induites par les sommes a+c et b+d. Mais qu'en est-il si l'expression A ne présente aucune symétrie (par exemple: A= a² + b/c + d/e ?
En d'autres termes: y a-t-il une methode générale pour résoudre ce genre de problème quelque soit l'ensemble discret de départ et quelque soit l'expression A ?
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