Limite d'une suite à valeur dans une algèbre

[KFSHU]

Bonjour,

je souhaite montrer que la suite converge vers lorsque est élément d'une algèbre.

Pour cela, j'ai développé le produit à l'aide de la formule du binôme (1 et commutent), . On a de plus, . Il est alors très tentant de dire qu'en passant à la limite dans , on obtient . Cette façon de faire me parrait assez douteuse.

J'ai voulu démontrer le résultat de façon rigoureuse en majorant la norme de la différence entre et par une suite tendant vers 0 mais je n'ai pas réussi à le faire.

Pouvez-vous m'indiquer une méthode permettant de démontrer ce résultat?
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[GBZM]

Bonjour,

Ton algèbre est normée, sinon ta question n'aurait pas grand sens.
est une série en à coefficients tous positifs où nuls et tu peux majorer sa norme par .

[Le LaTeX de ce forum est vraiment bizarre ! Il ne connaît pas \Vert. ]

[KFSHU]

Merci pour votre réponse.

tu peux majorer sa norme par

Je ne vois pas vraiment comment obtenir cette majoration. Pouvez-vous me donner plus de détails?

[GBZM]

Je reprécise : est une série entière en à coefficients tous positifs où nuls.
As-tu bien compris ce que ça veut dire ?
Le reste devrait aller de soi.

[A voir en vidéo sur Futura]