Fonctions harmoniques et équation de Laplace.

[Anonyme007]

Bonjour,

Existe-t-il une fonction , vérifiant l'équation de Laplace :

telle que, soit aussi dans , hormis, la fonction nulle ?

Merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Les seules fonctions harmoniques bornées sur tout R^n sont les constantes (théorème de Liouville).
Pour être L1, la constante doit être nulle

[Anonyme007]

Bonsoir Resartus,

Merci pour ta réponse.
En fait, je ne cherche pas bornée, mais simplement dans .

Merci d'avance.

[MissJenny]

mais tu disais C-infini, faudrait savoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

mais tu disais C-infini, faudrait savoir.

Oui, , mais, si , et , ça ne veut pas dire que est bornée.

[MissJenny]

tu as peut-être raison, ça dépasse mes compétences. Les exemples que je connais de fonctions continues non bornées et d'intégrale finie sont des fonctions qui présentent une suite de "pics" de plus en plus hauts et donc de plus en plus aigus. Je ne sais pas si une telle fonction peut être C-infini, mais peut-être que oui après tout.

[MissJenny]

je ne sais pas pourquoi je me posais la question : il suffit de prendre un pic bien lisse, façon gaussienne, et de le contracter dans un sens et dilater dans l'autre pour avoir un pic aussi haut qu'on veut et d'intégrale aussi petite qu'on veut et les contractions/dilatations ne changent pas la dérivabilité, donc oui : il existe des fonctions C-infini non bornées et d'intégrale finie, dans R comme dans R^3. Par contre ce genre de fonction ne vérifiera pas l'équation de Laplace.