Polynômes à coefficients dans Q

[Marmus1021]

Bonjour ! J’ai trouvé l’exercice de colle suivant :
Soit un polynôme à coefficients rationnels ().
Montrer que .

J’ai cherché des idées avec les polynômes interpolateurs de Lagrange notamment : j’écris
et après j’invoque le fait que le corps est stable par somme et par produit, puisque les sont rationnels par définition du polynôme et que les termes dans le produit sont rationnels. Déjà est-ce que cela marche ou j’ai fait une erreur ?

Mais ensuite je me suis dit qu’il y avait plus simple, sauf erreur de ma part. J’écris juste que , et de même, en évaluant en un x rationnel, par stabilité de la somme et du produit c’est fini non ? Je trouve ça bien trop court…
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[gg0]

Ben non, c'était une question élémentaire.

De la même façon si P est un polynôme à coefficients entiers et x est entier, alors P(x) est un entier.

Cordialement.

[Marmus1021]

Ok merci ça me rassure ! Donc ma deuxième solution suffit largement ?

La question suivante c’était de montrer la réciproque, ie qu’un polynôme qui prend des valeurs rationnelles pour tout x rationnel, a des coefficients dans Q.
Et là j’ai trouvé une solution avec les polynômes interpolateurs cette fois.

[jacknicklaus]

Bonjour ! J’ai trouvé l’exercice de colle suivant :
Soit un polynôme à coefficients rationnels ().
Montrer que .

J’ai cherché des idées avec les polynômes interpolateurs de Lagrange notamment : j’écris
et après j’invoque le fait que le corps est stable par somme et par produit, puisque les sont rationnels par définition du polynôme et que les termes dans le produit sont rationnels. Déjà est-ce que cela marche ou j’ai fait une erreur ?

Mais ensuite je me suis dit qu’il y avait plus simple, sauf erreur de ma part. J’écris juste que , et de même, en évaluant en un x rationnel, par stabilité de la somme et du produit c’est fini non ? Je trouve ça bien trop court…

Il y aussi une solution élémentaire par récurrence :
Il est clair que si a la propriété citée, alors est rationnel et a aussi la propriété citée

[A voir en vidéo sur Futura]