Somme infine 1+2+3+1+2+3+1+2+3+...

[Simurgh]

Bonjour à tous, je m'essaie au calcul d'une somme infinie et j'obtiens des résultats contradictoires.

Introduction :
On cherche la valeur de S=1+2+3+1+2+3+1+2+3+...
On pose A = 1-1+1-1+1-1+...
On remarque que A=1-A soit 2A=1, d'où A=1/2.
De plus, B= 1+1+1+1+1+...
B-A=0+2+0+2+0+2+0+...=2+2+2+...= 2(1+1+1+1+...)=2B
Ainsi, B=-A soit B=-1/2.

Méthode 1 :
S=1+2+3+1+2+3+1+2+3+1+2+3+...= (1+2+3)+(1+2+3)+(1+2+3)+(1+2+3 )+...=6+6+6+6+... = 6(1+1+1+1+...)=6*(-1/2)=-3
La première valeur qui se propose est donc -3. Mais on peut procéder différemment

Méthode 2 :
Soit C=1+2+1+2+1+2+1+2+...
C-B=0+1+0+1+0+1+0+1+...=B soit C=2B, d'où C=-1
On a alors S=C+(3+3+3+3+3+3+...)=C+3B=-1+3*(-1/2)=-5/2

Méthodes 3 :
S-B=1+2+1+2+1+2+...=C, d'où S=C+B=-3/2

Voilà, je suis un peu perdu. Mes méthodes sont peu orthodoxes, je le sais, et probablement fausses (au moins pour deux d'entre elles puisqu'elles se contredisent).

Merci de m'éclairer.
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[amineyasmine]

BONJOUR
C'est non mathématique
les 3 points de suspension enduit en erreur

on trouvera le résultat qu'on veut

[pm42]

En effet. Tu travailles avec des infinis comme s'ils étaient finis et en ne prenant aucune des précautions nécessaires. Ce qui permet d'arriver à n'importe quel résultat et à des contradictions ce qu'on sait depuis l'antiquité.

Dans ton cas, tu as avec A utilisé ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...ent_de_Riemann
Donc ton A = 1/2 est massivement faux et en changent un peu l'ordre des termes, tu aurais pu trouver n'importe quoi. Y compris A = +infini.

[Deedee81]

Salut,

Il y a quelques règles à utiliser avec ce genre de sommes.
Celles déjà signalées : l'infini n'est pas le fini, attention à la convergence et attention à l'ordre des termes.

Une précaution initiale, plutôt que d'utiliser des notations comme "1+2+3+..." etc... Utiliser les notations de sommation :
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...C3%A9matiques)

Elle est plus claire (et plus simple) et évite certaines erreurs.

Voir aussi :
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5320223

[A voir en vidéo sur Futura]

[JJacquelin]

Salut Simurgh,

Attention à tout ce qui fait intervenir l'infini ! C'est une inépuisable source d'erreurs involontaires ou même volontaires lorsqu'on veut créer des "paradoxes" mathématiques.

Martin Gardner : La magie des paradoxes, Edt. Pour la Science, 1997, p.71 .

https://fr.scribd.com/doc/15493868/P...oxes-Sophismes , page 14.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_infini

[Deedee81]

Salut,

Attention à tout ce qui fait intervenir l'infini ! C'est une inépuisable source d'erreurs involontaires ou même volontaires lorsqu'on veut créer des "paradoxes" mathématiques.

Et pas qu'en math, en physique aussi (mais ça vient des maths )

Marrant le texte de Gardner, je l'avais jamais lu, merci
Ca me rappelle Raymond Devos : Une fois rien, c'est rien ; deux fois rien, ce n'est pas beaucoup, mais pour trois fois rien, on peut déjà s'acheter quelque chose, et pour pas cher.