Le plus petit sous-groupe engendré par une partie non nulle

[The Hunter]

Bonjour à tous,


Mon propos aujourd'hui est de comprendre un truc des structures algébriques.

Soit G un groupe. Le plus petit sous-groupe de G contenant A est appelé le sous-groupe engendré par A.
Il est noté encore <A>.

On est tous d'accord, MAIS: pourquoi on a l'égalité (Z, +) = <1> (Le même problème avec (2Z, +) = <2>).

A mon avis la vrai égalité c'est: <1> = {-1, 0 , 1} et voici c'est le plus petit sous-groupe de Z contenant {1}.



Le problème continue encore par la proposition suivante:

si a est un élément de G, alors <a> = {a^ k / k parcourant Z*}; ce n'est pas un groupe au premier lieu car il ne contient pas l'élément neutre!

Et d'ailleurs, si on suppose que k parcourt Z et non pas seulement Z* (pour que l'ensemble soit un sous-groupe), encore, je pense que la relation correcte est: <a> = {a^ -1, l'élément neutre, a} car il est le plus petit contenant a.

Est ce que j'ai de raison ?
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[gg0]

Bonjour.

Tu as un problème avec la notation de la loi de groupe.
Le sous-groupe de (R, +) engendré par {1} doit contenir 0, mais aussi 2 (=1+1), 4, etc. Et évidemment -1,-2,etc.
On ne peut pas parler d'engendrement si on ne sait pas la loi de composition.
Revois tes cours en pensant à ça.

Cordialement.

[gg0]

Ta "proposition suivante" est fausse : il n'y a pas d'étoile à Z. Ici, la loi est multiplication, il faut avoir l'élément neutre 1

[gg0]

A noter encore :

{-1,0,1} peut être muni d'une structure de groupe, mais pas avec les lois habituelles sur les nombres; ni + (1+1 n'est pas dedans), ni * (pas d'élément neutre). Un loi possible est donnée par 0 neutre, 1+1=-1, -1+(-1) =1 et comme d'habitude, 1+(-1)=-1+1=0.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[The Hunter]

Je comprends bien maintenant. Et puisque c'était très trivial je me sens vraiment stupide !

J'avais complétement oublié qu'on parle d'un groupe, alors stable par la loi donc {-1, 0 1} n'est pas au premier lieu un groupe c'est une chose de banale quoi. C'est dans le cours bien évidemment mais je ne sais pas comment se concentrer bien.

Et malgré ça vous m'avais aidé. Merci infiniment.

Cordialement.