Bonjour,
Je recherche une démonstration de la solution de l'équation diff ordinaire non homogène y'=ay+b.
J'ai réussi à en trouver une pour l'EDO homogène, mais rien pour celle au dessus...
S'il n'y en a pas sur le net, pouvons nous la faire ensemble étape par étape s'il vous plait ?
Merci beaucoup !
Bonjour.
Ton équation est un cas particulier de la forme générale y'+ay=f(x). Que tu peux trouver facilement ("équation linéaire du premier ordre à coefficients constants).
Sinon, soient y1 et y2 deux solutions de ton équation (y1'=ay1+b, y2'=ay2+b). Alors si on pose Z=y1-y2, on a
Z'=y1'-y2'=ay1+b-ay2-b=a(y1-y2)=aZ; Z est solution de l'équation homogène ! Et y1 = y2+Z
Donc si on connaît une solution de l'équation, on trouvera toutes les autres en ajoutant la solution générale de l'équation homogène.
Or ici, il y a une solution facile à trouver y=Cte car en remplaçant dans l'équation on trouve tout de suite la constante (essaie !)
Cordialement.
Bonsoir gg0, merci de votre réponse !
Quelques détails m'échappent. Pourquoi faire y2'-y1' ? Qu'est ce que cela prouve ?
Aussi, pour une EDO homogène de type dx/dt = ax, la démonstration se fait en deux parties. Nous prouvons d'abord que Ke^at est une solution de l'équation. D'autre part, nous prouvons que toutes les solutions s'écrivent de la forme Ke^at.
Ici, pour l'EDO non homogène, pourquoi n'avons nous pas ces deux parties ? Nous n'avons pas présenté la solution générale.
Merci de votre aide !
"Pourquoi faire y2'-y1' ?"
Parce que ça va permettre de faire la démonstration !!
Évite de perdre du temps à poser la question des pourquoi sur les débuts de preuve. Quand tu auras bien étudié le sujet, tu pourras y revenir (mais ça ne t'intéressera plus). Ce qui compte, dans une preuve, ce n'est pas le détail, c'est le fait qu'on utilise les hypothèses, qu'on les transforme par application des règles jusqu'à obtenir la conclusion. Et souvent il y a plusieurs façon de faire (*).
Alors "Pourquoi faire y2'-y1' ?" : Parce que ça me plaît.
"Ici, pour l'EDO non homogène, pourquoi n'avons nous pas ces deux parties ?" Parce que ce n'est pas L'EDO homogène !!! Drôle de question.
Et comme j'ai seulement commencé la preuve, l'as-tu finie ? As-tu justifié que la solution est ... (je te laisse trouver).
Cordialement.
(*) pour certains théorèmes classiques on connaît des dizaines de preuves très différentes.
Je vais donner une réponse possible au pourquoi, parce que je trouve cette question légitime.
On a une équation diff linéaire en y, y'.
Il est donc assez normal de s'intéresser à une combinaison linéaire des solutions.
a1.y1+a2.y2 en général.
Rien n'impose le choix de a1 et a2. On peut donc choisir comme on veut, souvent, on choisit au plus simple.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je reformule ma question. Pour une EDO homogène, nous avons démontré l'existance et l'unicité de la solution. Je pensais qu'on aurait à faire de meme ici."Ici, pour l'EDO non homogène, pourquoi n'avons nous pas ces deux parties ?" Parce que ce n'est pas L'EDO homogène !!! Drôle de question.
J'ai recopié le début de la démo, et je sais que la solution, d'après le cours, c'est Ke^(at) -(b/a).Et comme j'ai seulement commencé la preuve, l'as-tu finie ? As-tu justifié que la solution est ... (je te laisse trouver).
Aussi, je n'ai pas compris cette étape : ay1+b-ay2-b=a(y1-y2)
Ca ne serait pas a(y1'-y2') ? Puisque y1'=ay1+b, y2'=ay2+b
ay1+b-ay2-b=a(y1-y2)
Simplification puis factorisation, comme on le fait en collège.
Et ça n'est pas a(y1'-y2') puisque c'est y1'-y2'. C'est même de ça que ça vient.
" Pour une EDO homogène, nous avons démontré l'existence et l'unicité de la solution. Je pensais qu'on aurait à faire de même ici. "
On peut, à toi de rédiger la solution. On peut aussi s'en passer en procédant par équivalence.
Encore une fois, c'est à toi de rédiger le démonstration, je n'ai fait que mettre en évidence le cœur du problème.
On peut aussi traiter le cas général des équations linéaires et démontrer que leur solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène associée. On trouve ça facilement.
Bonjour,
Je voulais donner des nouvelles de l'avancée de l'exercice.
J'ai terminé la démonstration en brouillon, il me reste plus qu'à la mettre au propre sur une feuille blanche.
A bientot !
