topologie et compact

[joq35]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'une petite aide pour commencer un exo.
On a un espace métrique (E,d) et une application continue de E dans E.
On suppose E compact.
On pose : E1 = f(E) et pour tout n>=1, E(n+1) = f(E(n))
Je dois montrer que l'intersection des E(n) est non vide.

A vrai, j'ai du mal à partir. Je sais que l'image d'un compact est un compact, donc E1, E2, ..., E(n) sont compacts, et sont des donc des fermés de E.
J'imagine qu'on peut ensuite supposer que l'intersection est vide, pour arriver à une contradiction, mais je pèche un peu.

Auriez-vous une petite suggestion pour débuter la résolution de l'exo ?

Merci à vous
-----

[MissJenny]

Puisque les E(n) sont fermés, leurs complémentaires sont ouverts. Si l'intersection des E(n) est vide ça signifie que la réunion des complémentaires est E.

[joq35]

Ok merci. Vous avez donc trouvé un recouvrement de E. Comme E est compact, on peut extraire un recouvrement fini de E.
Il faut ensuite partir sur les recouvrements ? Désolé, mais j'ai du mal à avancer seul ...

[MissJenny]

est-ce que la suite des E(n) ne serait pas décroissante? donc celle des complémentaires croissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[joq35]

Ah oui merci je crois avoir pigé. C'était tout bête sûrement, mais je n'avais pas vu que la suite des E(n) était décroissante. Merci bcp.