Dérivée d'une factorielle

[Lilg]

Bonjour,
Pourquoi est-ce que la dérivée d'une factorielle par rapport à x est 0? Plus exactement, pourquoi est-ce qu'on considère que n! est une constante par rapport à x?
Merci d'avance et bonne journée.
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[Deedee81]

Salut,

Parce que n est différent de x. Tout comme la dérivée de x² par rapport à x est 2x, mais la dérivée de y² par rapport à x est 0 (si x et y sont bien des variables indépendantes).

D'une manière générale la factorielle étant discrète (variable et à valeur dans les naturels) sa dérivée n'a guère de sens (autre que 0). Mais on peut aussi se tourner ver :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

qui est "en quelque sorte" la version continue.

[5t3ph]

> la dérivée de x² par rapport à x est 2x

Oui, bon exemple, j'avais soumis cette blagounette à un jeune (rien de péjoratif là) qui avait des notions de dérivabilité...

x²=x+x+...+x x fois

Tu dérives, ça fait

2x=1+1+...+1 x fois

soit 2x=x pour tout x non nul. Etc, etc

Sa 1ère réaction a été "si c'est vrai dans R, ça devrait être vrai dans N "a fortiori" puisque N est inclus dans R."
Le "a fortiori" m'a bien sûr interpellé.

Perso, je trouve qu'il y a des "questions subliminales" dans le post de Lilg.

Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une fonction soit dérivable ?

Quelles sont les conditions suffisantes pour qu'une fonction soit dérivable ?

Ou peut-être que je me pose trop de questions.

En tous cas, les notions de dérivabilité et de continuité en un point ne sont pas forcément triviales pour un jeune.

[Deedee81]

Salut,

Perso, je trouve qu'il y a des "questions subliminales" dans le post de Lilg.
Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une fonction soit dérivable ?
Quelles sont les conditions suffisantes pour qu'une fonction soit dérivable ?
Ou peut-être que je me pose trop de questions.

Non, au contraire, c'est tout à fait juste (et c'est même ce que j'ai pensé directement en voyant le titre dans "nouveau message" ).

x²=x+x+...+x x fois
Tu dérives, ça fait
2x=1+1+...+1 x fois

Hou non, erreur, ça fait : 2x = 1+1+...+1 une fois, c'est une blague Belge (oui, oui, je fais dans l'auto-dérision)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

En cherchant un peu, on peut trouver un sens à cette question. Si n est un entier naturel et si x est un des ses facteurs premiers, on peut définir une dérivée par .

est la valuation x-adique de n (l'exposant de son facteur premier x dans sa décomposition).

Mais cette opération est-elle une dérivation?



On peut généraliser à tout nombre premier x en posant v_x(n) = 0 si x ne divise pas n. Dans ce cas la dérivée est nulle.

[ThM55]

Donc le problème est réduit au calcul de la valuation x-adique d'une factorielle...

[5t3ph]

Okay, merci ThM55 !