Bonjour, je n'arrive pas à tout comprendre sur la démo de l'expression de la variance:
V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2XE(X) + E(X)2) = E(X)2 -2E(X)2 + E(X)2 = E(X2) - E(X)2
Je ne comprends pas pourquoi on n'a pas: V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2XE(X) + E(X)2) = E(X)2 -2XE(X)2 + E(X)2 et je ne comprends pas le tout dernier terme. Il doit me manquer quelques propriétés sur l'espérance.
Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
Dernière modification par Matt1627 ; 08/12/2022 à 16h56.
Bonjour.
Il faut bien voir que X est la variable, pas une constante (E(aX)=aE(X) suppose que a soit une constante). Par contre, E(X) est une constante (calculée à partir de X, mais fixe). Voici le calcul, plus général :
E((X-a)2) = E(X2 -2aX +a2)= E(X²)+E(-2a X) + E(a²) = E(X)2 -2aE(X) + a2
qui donne, pour a=E(X)
V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2E(X)X + E(X)2) = E(X)2 -2E(X)E(X)+ E(X)2 = E(X2) - E(X)2
Cordialement.
D'accord, cela m'est plus clair, merci beaucoup pour votre réponse.
Bonjour, je viens de repenser à cette démo et je voudrais savoir quelle est la propriété utilisée pour dire que: -E(2XE(X)) = -2E(X)E(X) ? car là on a un produit et pour moi E(XY)=E(X)E(Y) quand X et Y sont indépendants alors que là nous n'en savons rien. Pourriez-vous m'éclairer là-dessus ? car cela me perturbe
Il te l'a expliqué dès le début : E(X) dans E(XE(X)) est une constante tout comme 2 d'ailleurs donc on peut la sortir de l'expression de l'espérance.Envoyé par Matt1627
Une autre façon de voir ça est de travailler sur un espace discret. Tu veux calculer la variance de 10 nombres x1, ..., x10.
Tu vas commencer par calculer leur moyenne m.
Puis tu vas calculer la somme des écarts à cette moyenne au carré : (x1-m)^2 +...+ (x10-m)^2
Quand tu écris le calcul comme ça, tu vois bien que m n'est pas une variable aléatoire et que tu vas le manipuler comme une constante.
Dernière modification par pm42 ; 09/12/2022 à 16h56.
D'accord merci je comprends mieux le calcul mais du coup je ne comprends pas pourquoi nous pouvons considérer que E(X) est une constante car cela varie en fonction des différents x appartenant à X(Ω), non ?
Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 17h36.
Non, la moyenne se calcule avec les valeurs prises par X, mais une fois calculée, elle ne varie plus !!
Sérieusement, il te faudrait reprendre à la base les notions de variable aléatoire (surtout) et de moyenne. Puis apprendre les propriétés calculatoires de la moyenne. Et peut-être lire vraiment les réponses qu'on te fait.
Je comprends mieux, je voyais E(X) un peu comme une fonction f(x) qui n'est pas forcément constante alors que ce n'est pas adapté, merci à vous.
Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 17h48.
J'ai une autre question sur l'espérance, il y a une propriété qui dit que: Si X>=0 alors E(X)>=0. Je ne comprends pas cette notion de X>=0 étant donné que X est un ensemble et du coup je n'ai pas d'exemple de X<0. Je pense encore mal comprendre certaines choses.
Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 17h58.
Attention, f(x) aussi est une constante ! C'est f qui est une fonction, et si on fixe x, si on a une seule valeur pour x, f(x) est fixé. Ce n'est que si on fait varier x, si on change de valeur pour x, que f(x) va varier. De la même façon, si on change de variable aléatoire X, alors E(X) pourra varier.
Mais dans ton calcul, tu ne considères qu'une seule variable aléatoire X, donc X ne varie pas (contrairement à ce que dit le nom "variable aléatoire"). Ce qui varie, ce sont les éventuelles valeurs prises par X. Revois la définition !
Cordialement.
X n'est pas un ensemble, c'est une fonction.
Un des meilleurs cours de stats que j'ai eu a commencé comme ça : "une variable aléatoire n'est pas une variable ni aléatoire. C'est une fonction qu'on ne connait pas et sur laquelle on va quand même essayer de calculer des choses : sa moyenne, la probabilité qu'elle soit plus grande qu'une certaine valeur, etc".
Donc X > 0 veut simplement dire que ta variable aléatoire (fonction) ne prend que des valeurs positives.
D'accord, je vous remercie, ça m'a permis de me rendre compte des notions à retravailler.
