Démonstration de l'expression de la variance
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Démonstration de l'expression de la variance



  1. #1
    Matt1627

    Démonstration de l'expression de la variance


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas à tout comprendre sur la démo de l'expression de la variance:

    V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2XE(X) + E(X)2) = E(X)2 -2E(X)2 + E(X)2 = E(X2) - E(X)2

    Je ne comprends pas pourquoi on n'a pas: V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2XE(X) + E(X)2) = E(X)2 -2XE(X)2 + E(X)2 et je ne comprends pas le tout dernier terme. Il doit me manquer quelques propriétés sur l'espérance.

    Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.

    -----
    Dernière modification par Matt1627 ; 08/12/2022 à 17h56.

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Bonjour.

    Il faut bien voir que X est la variable, pas une constante (E(aX)=aE(X) suppose que a soit une constante). Par contre, E(X) est une constante (calculée à partir de X, mais fixe). Voici le calcul, plus général :
    E((X-a)2) = E(X2 -2aX +a2)= E(X²)+E(-2a X) + E(a²) = E(X)2 -2aE(X) + a2
    qui donne, pour a=E(X)
    V(X) = E((X-E(X))2) = E(X2 -2E(X)X + E(X)2) = E(X)2 -2E(X)E(X)+ E(X)2 = E(X2) - E(X)2


    Cordialement.


  3. #3
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    D'accord, cela m'est plus clair, merci beaucoup pour votre réponse.

  4. #4
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Bonjour, je viens de repenser à cette démo et je voudrais savoir quelle est la propriété utilisée pour dire que: -E(2XE(X)) = -2E(X)E(X) ? car là on a un produit et pour moi E(XY)=E(X)E(Y) quand X et Y sont indépendants alors que là nous n'en savons rien. Pourriez-vous m'éclairer là-dessus ? car cela me perturbe

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pm42

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Citation Envoyé par Matt1627 Voir le message
    Bonjour, je viens de repenser à cette démo et je voudrais savoir quelle est la propriété utilisée pour dire que: -E(2XE(X)) = -2E(X)E(X) ? car là on a un produit et pour moi E(XY)=E(X)E(Y) quand X et Y sont indépendants alors que là nous n'en savons rien. Pourriez-vous m'éclairer là-dessus ? car cela me perturbe
    Il te l'a expliqué dès le début : E(X) dans E(XE(X)) est une constante tout comme 2 d'ailleurs donc on peut la sortir de l'expression de l'espérance.

    Une autre façon de voir ça est de travailler sur un espace discret. Tu veux calculer la variance de 10 nombres x1, ..., x10.
    Tu vas commencer par calculer leur moyenne m.
    Puis tu vas calculer la somme des écarts à cette moyenne au carré : (x1-m)^2 +...+ (x10-m)^2
    Quand tu écris le calcul comme ça, tu vois bien que m n'est pas une variable aléatoire et que tu vas le manipuler comme une constante.
    Dernière modification par pm42 ; 09/12/2022 à 17h56.

  7. #6
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    D'accord merci je comprends mieux le calcul mais du coup je ne comprends pas pourquoi nous pouvons considérer que E(X) est une constante car cela varie en fonction des différents x appartenant à X(Ω), non ?
    Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 18h36.

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Non, la moyenne se calcule avec les valeurs prises par X, mais une fois calculée, elle ne varie plus !!

    Sérieusement, il te faudrait reprendre à la base les notions de variable aléatoire (surtout) et de moyenne. Puis apprendre les propriétés calculatoires de la moyenne. Et peut-être lire vraiment les réponses qu'on te fait.

  9. #8
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Je comprends mieux, je voyais E(X) un peu comme une fonction f(x) qui n'est pas forcément constante alors que ce n'est pas adapté, merci à vous.
    Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 18h48.

  10. #9
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    J'ai une autre question sur l'espérance, il y a une propriété qui dit que: Si X>=0 alors E(X)>=0. Je ne comprends pas cette notion de X>=0 étant donné que X est un ensemble et du coup je n'ai pas d'exemple de X<0. Je pense encore mal comprendre certaines choses.
    Dernière modification par Matt1627 ; 09/12/2022 à 18h58.

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Attention, f(x) aussi est une constante ! C'est f qui est une fonction, et si on fixe x, si on a une seule valeur pour x, f(x) est fixé. Ce n'est que si on fait varier x, si on change de valeur pour x, que f(x) va varier. De la même façon, si on change de variable aléatoire X, alors E(X) pourra varier.
    Mais dans ton calcul, tu ne considères qu'une seule variable aléatoire X, donc X ne varie pas (contrairement à ce que dit le nom "variable aléatoire"). Ce qui varie, ce sont les éventuelles valeurs prises par X. Revois la définition !

    Cordialement.

  12. #11
    pm42

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    Citation Envoyé par Matt1627 Voir le message
    Je ne comprends pas cette notion de X>=0 étant donné que X est un ensemble
    X n'est pas un ensemble, c'est une fonction.

    Un des meilleurs cours de stats que j'ai eu a commencé comme ça : "une variable aléatoire n'est pas une variable ni aléatoire. C'est une fonction qu'on ne connait pas et sur laquelle on va quand même essayer de calculer des choses : sa moyenne, la probabilité qu'elle soit plus grande qu'une certaine valeur, etc".

    Donc X > 0 veut simplement dire que ta variable aléatoire (fonction) ne prend que des valeurs positives.

  13. #12
    Matt1627

    Re : Démonstration de l'expression de la variance

    D'accord, je vous remercie, ça m'a permis de me rendre compte des notions à retravailler.

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