Bonjour,
La démonstration suivante vous semble-t-elle correcte? 😉
Soit S={xn:n€N}. On sait que S est borné. Soit a=inf S. Je propose de montrer que xn -> a.
Soit e>0. Puisque a est le minorant maximal de S, a+e n'est pas un minorant de S. Donc il existe xN tel que a+e>xN. Or (xn) est décroissante donc pour tout n>=N, xn<=xN. En même temps puisque a minore S, xn>=a. Alors pour tout n>=N, a+e>xn>=a. Donc |a+e|>e.
Merci d avance pour toute aide.
C'est presque bon :
Soit S={xn:n€N}. On sait que S est borné. Soit a=inf S. Existence de l'inf ? Je propose de montrer que xn -> a.
Soit e>0. Puisque a est le minorant maximal de S, a+e n'est pas un minorant de S. Donc il existe xN tel que a+e>xN. Or (xn) est décroissante donc pour tout n>=N, xn<=xN. En même temps puisque a minore S, xn>=a. Alors pour tout n>=N, a+e>xn>=a. Jusque là c'est très bon.
Donc |a+e|>e. ??? pourquoi cette valeur absolue ? Et quel rapport avec la convergence ?
On a bien a+e>a, mais si a+e est négatif, alors |a+e|=-(a+e) et on n'a pas de règle pour le comparer à a.
Il est temps de montrer que la définition de la convergence vers a est vérifiée. La connais-tu ?
Pardon, ma dernière n a pas de sens effectivement et devrait être : Donc |xn+a|>e.
Pour vous répondre, la définition de la convergence que j utilise est:
Une suite (xn) converge vers a €R ssi pour tout e>0, il existe N tel que pour tout entier n>=N, |xn-a|<e.
Quant à la question de l'existence de l inf. J ai été un peu vite et mal posé l hypothèse de départ soit : une suite monotone bornée. Donc inf existe par hypothèse.
Attention à ce que tu écris :
"ma dernière ? n'a pas de sens effectivement et devrait être : Donc |xn+?a|>e."
Et |xn-a|<e est à prouver
"Donc inf existe par hypothèse.". Non, ce n'est pas l'hypothèse. Quel théorème assure l'existence de ce inf ?
Désolé, mais si, il s agit bien de mon hypothèse. Je démontre ici la convergence d une suite monotone et bornée décroissante.
Soit S={xn:n€N}. On sait que S est borné. Soit a=inf S. Je propose de montrer que xn -> a.
Soit e>0. Puisque a est le minorant maximal de S, a+e n'est pas un minorant de S. Donc il existe xN tel que a+e>xN. Or (xn) est décroissante donc pour tout n>=N, xn<=xN. En même temps puisque a minore S, xn>=a. Alors pour tout n>=N, a+e>xn>=a. Donc |xn-a|<e.
Borné n'est pas synonyme de "il existe une borne inférieure", mais de "il existe un majorant et un minorant". Un minorant n'est pas une borne inférieure.
Désolé, je ne suis pas sûr de saisir où vous voulez en venir.
Si elle est bornée, elle est minorée donc elle possède un minorant maximal qu on appelle inf S. Où est-ce que je me trompe?
Oui, c'est un théorème. Qui n'est vrai que dans l'ensemble des réels. Donc ce n'était pas l'hypothèse.
Si tu as comme hypothèse "x>0", dire "l'hypothèse : x n'est pas égal à -3" n'a pas de sens. C'est confondre une propriété et ses conséquences.
