Polynômes et racines réelles

[SqrtNomis]

Bonjour à tous,

J'ai récemment conjecturé, lors de la réalisation d'exercices, qu'il était impossible qu'un polynôme de degré ait des racines dans s'il possède des coefficients , avec et bien sûr .

Est-ce que je me trompe ? Si oui, pourquoi ?
Sinon, comment je peux en être sûr ?

Je connais le théorème de Wantzel, peut-être que cela pourrait m'aider, mais je n'arrive pas à voir comment, si vous pouviez me donner un indice, cela m'aiderait beaucoup !!

Bien à vous.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

il me semble que le polynôme suivant est contre-exemple : où .

on a bien : m = 1; n = 2; m < n; C^n n'est pas dans Q.

[SqrtNomis]

Ah, oui, je suis bête !
Peut-être est-ce vrai dans .

[gg0]

Bonjour.

Peux-tu préciser ton idée, car "vrai dans " est très peu informatif (qu'est-ce qui est dans ?).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A noter que la conjecture initiale est manifestement fausse puisque a toujours la racine 1 quels que soient les conditions imposées à . il faudra aussi préciser l'hypothèse "s'il possède des coefficients ".

[SqrtNomis]

Je reformule donc avec ces nouvelles informations :

Soit
,


A ce niveau, je ne parlerai plus de conjectures mais de points d'interrogation.

Interrogation 1 :

Peut-on affirmer que


Interrogation 2 :

Et si on change le premier quantificateur en un "pour tout", et qu'on prends du coup une liste de c_i ?

Interrogation 3 :

Si on considère

qu'en est-il ?

[gg0]

Bonjour.

J'ai déjà répondu à ton interrogation 1 dans le message #5 par un contre-exemple. Et ça répond aussi au deuxième, en prenant + à la place de - et -1 comme racine.

Ton équivalence à la ligne 4 n'a pas trop de sens puisque tu n'a pas défini les . Penserais-tu qu'un polynôme réel de degré m a toujours m racines distinctes ??

Cordialement.

[jacknicklaus]

Il y a bien trop d'approximations pour répondre (et s'intéresser) à la question telle que posée

ligne 4 : j'en comprends que tu écris qu'une racine d'un polynôme de degré m est élément d'un ensemble de m+1 réels. C'est faux car un polynôme peut avoir 0 racines réelles. ET c'est assez mal tourné car un polynôme de degré m a au plus m racines réelles. Et je passe sur la bizarrerie où tu écris qu'un (m+1)uplet est élément de Rm !

ligne 8 : le premier membre de la proposition fait intervenir une valeur c qui n'est nulle part définie. Le second membre exprime une propriété "pour tout i" alors que nulle part le i n'est réutilisé dans la proposition.


Bref sois un peu rigoureux.

[gg0]

Peut-être éviter d'écrire des formules purement mathématiques et se contenter de dire en bon français de quoi il est question. Sans oublier de préciser les significations des lettres (m, c, ...) avant de les utiliser.
Et aussi comprendre vraiment les réponses reçues.

[SqrtNomis]

Oulah, oui, la ligne 4 pose problème : c'est plutôt jusque , et .
Bien sûr je n'exclus en aucun cas que .


La ligne 8 manque de rigueur, on pourrait considérer dans . Ce que je voulais vérifier, c'est si l'existence d'un coefficient avec {n} supérieur au degré du polynôme impliquait l'absence de racines réelles.
Cela peut effectivement être infirmé par un simple contre-exemple (polynôme de degré 1).
Je me demandais la même chose pour les racines rationnelles, mais gg0 l'a également infirmé.

Merci quand même