Espace métrique - intérieur et densité

[joq35]

Bonjour à tous,

J'ai un exo à faire, je bute un petit peu. C'est en topologie, j'ai un espace métrique (E,d) et A une partie de E.
Je dois montrer l'équivalence suivante :

1- Intérieur (A) = vide
2- Pour toute partie D de E dense dans E, D inter A = non vide

J'ai démontre le sens 1 --> 2.
J'ai pris un élément de l'intérieur de A. Il existe donc une boule ouverte centrée en x et incluse dans A.
Soit D une partie dense dans E. Par définition, tout intervalle ouvert de E rencontre D.
Mais B(x,E) est un ouvert de E, donc contient un élément de D. D inter A est donc non vide.

Dans le sens contraire, je pèche un peu. J'aurais envie de prendre un élément de D inter A. On doit pouvoir utiliser la définition de la densité après.
Mais je ne vois pas comment conclure que l'intérieur de A est non vide.

Avez-vous une petite idée ?

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

C'est bizarre, ce que tu racontes. Il n'y a pas équivalence entre ces deux propriétés.

Vu ce que tu dis ensuite, c 'est
1- L'intérieur de A est non vide

Dans ce cas, la preuve 1 --> 2 fonctionne, une fois rectifiée :
soit x un élément de l'intérieur de A. Il existe donc une boule ouverte centrée en x, de rayon r et incluse dans A.
Soit D une partie dense dans E. Par définition, tout ouvert de E rencontre D.
Mais B(x,r) est un ouvert de E, donc contient un élément de D. D inter A est donc non vide.

Pour la réciproque, on peut procéder par contraposition, en supposant l'intérieur de A vide et construisant une partie dense de E qui ne coupe pas A. Une idée simple : E-A n'a aucun élément commun avec A.

Cordialement.

[joq35]

Bonsoir
Merci pour la réponse. Oui c’est effectivement À non vide. Je vais regarder avec la contraposée, merci.