equations diphantiennes et carré parfait

[annamillie]

Bonjour !

Je souhaite répondre à la question suivante, sauf que je n'ai pas trop de pistes ....

Quelle est la somme de tous les nombres x∈{2,3,…,500} tels que
x^2−16 est un carré parfait ?

Est-ce que qqn aurait une suggestion de raisonnement ?
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[Mateo_13]

Bonjour,

si tu écris l'égalté x² - 4² = le carré d'une lettre de ton choix,
est-ce que cela te rappelle un théorème célèbre de collège ?

Cordialement,
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Mateo.

[annamillie]

Excusez moi j'ai fait une faute de frappe:
VOICI LA BONNE QUESTION : Quelle est la somme de tous les nombres x∈{2,3,…,500} tels que
(x^2−1)/6 est un carré parfait ? ce serait un peu trop facile sinon...

[Mateo_13]

L'idée est la même :
écris l'égalité avec des lettres,
puis arrange-toi pour ne plus avoir de dénominateur,
factorise la différence de deux carrés
et essaie d'utiliser des théorèmes qui portent des noms de mathématiciens de ton cours de Maths Expertes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

1ère étape : montrer que les entiers x vérifiant la condition donnée sont de la forme 6k+1 ou 6k+5.

2ème étape, calculer soigneusement la somme à l'aide de la formule bien connue de sommation d'entiers consécutifs

[annamillie]

si je fais ça j'obtiens:
si je note (x^2−1)/6=a^2
j'obtiens x^2-6a^2=1
donc (x+√6a)(x-√6a)=1 et du coup la faut que j'utilise th bezout, gauss ... ?

[annamillie]

comment est ce que vous trouvez qu'ils sont de la forme 6k+1 ou 6k+5 ?

[jacknicklaus]

et si tu regardais le problème posé en raisonnant modulo 6 ?

x² = ?? [6]

donc x = ??

je ne t'en dis pas plus, c'est ton exercice. Mais tu peux oublier Bézout, Gauss et les suggestions de Matéo. Raisonne simplement, sans chercher midi à 14h.

[annamillie]

Okkk effectivement en raisonnant modulo 6 et avec un petit tableau de congruences on trouve soit
x=1+6k soit x=5+6k
J'ai essayé de faire la somme de 2 à 500 de 1+6k ou 5+6k et je trouve respectivement 751993 et 753989 cependant il ne s'agit pas de la bonne réponse...
Peut etre ai je mal effectué la somme ?

[jacknicklaus]

chez moi la somme totale fait 6x83x84 = 41832

[jacknicklaus]

la somme de 2 à 500 de 1+6k ou 5+6k

non, car là ton dernier entier est 6 x 500 + 5 = 3005 bien au delà de la séquence 2 à 500 demandée !

je le redis, il faut faire les sommes soigneusement en commencant par bien vérifier les bornes. il y a des petits pièges...

[annamillie]

Ce n’est pas ça la bonne réponse …

[gg0]

Pour k=1 on obtient pour x=6k+1 = 7 que (x²-1)/6=48/6=8. 8 n'est pas un carré parfait.

La "bonne réponse" est-elle 539 ?

Cordialement.

[annamillie]

Oui c’est le bon résultat, pourriez vous m’expliquer plus en détails comment vous avez fait ?

[gg0]

J'ai testé tous les nombres entre 2 et 500 et il n'y en a que 3.
Mais ça doit pouvoir se faire par élimination, en cherchant parmi les 6k-1 lesquels conviennent (il y en a 2) et même chose pour les 6k+1 (un seul). Il faut alors reprendre (x²-1)/6 est un carré à partir de x=6k+1.
Bon travail !

[annamillie]

ahhhh je vois effectivement

[jacknicklaus]

Bonjour,

je me suis un peu amusé avec cet exercice, en cherchant à généraliser une méthode de résolution. La question posée est la suivante :

quelle est la suite des X_n tels que, pour k un entier non nul fixé, il existe un n entier vérifiant X²_n - 1 = kn²
par exemple, avec k = 6, chercher les x tels que x²-1 = 6 fois un carré. on trouve 5 (5²-1 = 6.2²), puis 49 (49²-1 = 6.20²), puis 485 (485²-1 = 6.198²), etc..

il se trouve que les X_n vérifient une relation par récurrence du type X_n+2 = a.X_n+1 - X_n où l'entier a dépend de k.
par exemple, avec k = 6, a = 10, et X_n+2 = 10.X_n+1 - X_n, et on initialise avec X0 = 1, X1 = 5 pour retrouver la séquence 5, 49, 485, 4801, 47525, ...

Naturellement, si k est un carré plus grand que 1, aucun nombre ne convient. Avec un petit programme, on obtient :

k = 2, A = 6
k = 3, A = 4
k = 5, A = 18
k = 6, A = 10
k = 7, A = 16
k = 8, A = 6
k = 10, A = 38
k = 11, A = 20
k = 12, A = 14
k = 13, A = 1298
k = 14, A = 30
k = 15, A = 8
k = 17, A = 66
k = 18, A = 34
k = 19, A = 340
k = 20, A = 18

Je ne vois aucune piste permettant d'obtenir le coefficient A comme fonction de k.
une idée ?

[gg0]

La suite OEIS A001079 donne ces nombres (les suivants sont 470449, 4656965 qu'on retrouve bien par recherche systématique) et la relation de récurrence que tu donnes. L'un des auteurs cités est d'ailleurs un participant au forum (actuel je ne sais pas, mais régulier il y a une dizaine d'années).

Cordialement.

[jacknicklaus]

Merci pour cette piste. Et effectivement, la liste des coefficients de la relation de récurrence (mon bloc code) est référencée sur le numéro A180495.

il ne semble pas exister une fonction "simple" pour les obtenir...

l'équation x²-1 = k.p² est connue sous le nom d'équation de Pell.