Un sous ensemble compacte sur Rn

[Hzow]

Bonjour,

Je travaille actuellement sur une série d'exercice en topologie. Je bloque sur un exercice et en particulier sur la question 3 (l'énoncé est en pièces jointes).

La question : Pour tout , étudier la compacité du sous-ensemble de

le sous-ensemble semble compact donc j'ai essayé de le montrer la compacité mais j'ai des doutes sur mon raisonnement... en particulier sur la partie qui traite de la borne... Voila ce que j'ai rédigé :


On a montré que est continue, donc et sont également continues. L'addition de deux applications continues est également continue, donc l'application est continue sur .\\

Montrons que est un fermé de :



On en déduit que est l'image réciproque de par :

est très clairement un fermé de et est continue sur , donc A est un fermé de .


Montrons que est borné :

On sait que :. Posons , on obtient:

Car , on en déduit les deux inégalités suivantes

On en conclut:

ou encore

Donc est bien borné.



Puisque est borné et fermé, on en déduit que est un compact de .

Si vous vous pouvez me donner des pistes pour montrer que A est borné, je suis preneur...
D'avance merci,
-----

[gg0]

Bonjour.

Ce que tu as fait ne marche pas, puisque ton M dépend de x. Pourtant, si x est dans A, N(x) ne peut avoir que deux valeurs, donc est inférieur à la plus grande des deux qui se majore en norme ||.|| (*) par l'inégalité N(x)<=C||x||.

Cordialement.

(*) ¨Pour avoir |, touche Alt Gr 6 sur un clavier d'ordinateur.

[Hzow]

Bonjour,

Merci de ton retour. Par contre, je ne vois pas pourquoi aurait deux valeurs...

[gg0]

Pourtant tu as déjà résolu des équations du second degré.
NB : ce n'est pas N qui a une seule valeur, mais N(x).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hzow]

Décidément, j'ai du mal a montrer que c'est borné...
Du coup, j'ai résous l'équation du second degré. J'obtiens deux solutions .

solutions.png

Or n'est pas totalement définie puisque pour au voisinage de 0, elle est négative.
Du coup, est-ce qu'on considère malgré tout que c'est une solution a partir d'un certain ?

(En supposant qu'on garde ) L'ensemble A peut-il s'écrire comme suit ?

ensemble A.png

Pour rebondir sur ce que vous m'avez conseiller de faire :

Pourtant, si est dans A, ne peut avoir que deux valeurs, donc est inférieur à la plus grande des deux qui se majore en norme ||.|| (*) par l'inégalité N(x)<=C||x||.

Je ne vois pas comment majorer puisqu'on connait pas l'expression de ..

Merci pour ton attention !

[gg0]

Ah oui, je n'avais pas remarqué que les solutions sont de signes contraire. Il n'y a donc qu'une seule valeur possible pour N(x).

Et effectivement, ça donne une minoration pour ||x||, ce qui n'est pas très utile ! Il faudrait utiliser le résultat de la question suivante.

Cordialement.

[Hzow]

Merci pour ton aide et désolé du dérangement !