Démontrer l'unicité de t tel que cosh(t)^2 - sinh(t)^2=1

[Matt1627]

Bonjour, je dois démontrer qu'il existe un unique t∈R tel que cosh(t)²-sinh(t)²=1. Je vois comment faire pour retrouver l'égalité en remplaçant le cosh et le sinh par leur formule avec les exponentielles mais je ne vois pas comment prouver l'unicité de t en même temps. A moins que ce ne soit pas comme ça qu'il faille faire, j'ai pensé à faire une analyse synthèse sachant que l'analyse serait déjà faite. Pourriez-vous me donner des pistes ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[stefjm]

Cela va être très difficile de trouver un unique t, vu que la relation est vraie quel que soit t.
https://www.wolframalpha.com/input?i...inh%28t%29%5E2

Bizarre comme énoncé.

[Matt1627]

C'est ce que je me suis dit, je trouvais ça étrange mais bon je ne voulais pas remettre en cause l'énoncé de mon prof ^^.

[Matt1627]

Merci pour votre réponse, cela va m'éviter de chercher encore longtemps.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Matt1627]

Bonjour, du coup, j'ai répondu à la 5)b) mais je suis quand même bloqué à la 5)c) avec cette histoire d'unicité. Je ne vois pas comment m'y prendre pour répondre à la question. Pouvez-vous m'aider ?

[gg0]

Bonjour.

Ta question du message #1 n'a rien à voir avec la question 5 b !! Dans la question 5 b, on te demande de prouver, connaissant deux nombres réels x et y qui vérifient x²-y²=1, qu'il existe un unique t tel que cosh(t) = x et sinh(t) = y. Comme x est positif, il y a deux valeurs t' et t" telles que leur cosinus hyperbolique soit égal à x (lesquelles, sais-tu les calculer ?). Le calcul de leur sinus hyperbolique donne alors y ou -y suivant la valeur, donc une seule donne la bonne condition.
Et la question 5 c ne fait que retraduire la 5 b.

Cordialement.

[Matt1627]

Ah d'accord mais du coup je ne comprends pas pourquoi il est dit dans l'énoncé que x>=0 et non pas x>0 car la fonction cosh est strictement positive, je comprends vu que cosh est paire qu'ils existent t' et t'' tels que leur cosinus hyperbolique vaille x mais je ne comprends pas pourquoi il y en a qu'un seul qui va convenir étant donné que y est au carré dans la relation.

[gg0]

Là encore tu mélanges. x avec son cos hyperbolique, y avec son sinh. Et toujours une hypothèse que tu prends comme conclusion, depuis le titre du premier message. La condition x^2-y^2=1 est une hypothèse nécessaire, mais le but n'est pas de la réaliser, elle est vraie.
II faut que tu lises vraiment la question. Et que tu t'y mettes.

Cordialement.

[Matt1627]

J'ai commencé à écrire vu que cosh est paire, ∀x∈[1;+∞[, ∃(-t'',t'')∈R² tel que cosh(-t'')=cosh(t'')=x mais après je suis bloqué par les questions que je vous ai posé à mon message d'avant.

[gg0]

Mais ces questions n'ont aucun intérêt, tu "poses des questions" pour ne pas faire ton travail !!

Tu as (comme je te l'ai dit au message #6) deux valeurs (*) t' et t" dont le cosh vaut x. La suite est évidente, et je t'avais préparé le travail : Leur sinh vaut-il y ?
Mais comme tu te contentes de peu, comme tu ne justifies pas ni ne fais les calculs nécessaires, tu ne vois rien. Au travail, mets les mains dans le cambouis.

NB : Ne reviens pas avec des questions dilatoires. Éventuellement, avec des calculs qui te bloquent, mais en tout cas pas sans rien.

(*) La condition x>=1 n'est pas dans l'énoncé. Donc tu as à justifier que pour tout x et y tels que x²-y²=1, il y a bien au moins une valeur de t, et généralement 2

[gg0]

Allez, je suis sympa aujourd'hui.

La condition x²-y²=1 donne x² = ... donc ..
L'équation cosh(t) = x (avec x >=1 comme on vient de le voir) se traduit par ... et on obtient t = ou t =. Au passage, on voit que exp(t) = ... ce qui donne cosh(t) = ...

Tous ces calculs sont élémentaires.