Similitude (Reduction)

[itslunyitsluny]

Bonjour à tous,
j'étais en train de faire un exo ou on trouve que A et B sont deux matrices reelles symetriques(donc diagonalisables) qui ont meme spectre et qui verifient A²=B²=M avec M une matrice reelle.
en fait on veut demontrer que A=B pour cela on a A=P1 D ^t P1et B=P2 D ^t P2.Ce qui reste à demonter c'est que P1=P2
pour cela on decide de demontrer que A et B ont meme espaces propres.En effet on peut prouvé ce resultat,mais je ne vois pas pourquoi ca donne l égalité entre P1 et P2?
Merci d'avance.
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[GBZM]

Bonjour,

Il semble bien que tu aies mal compris l'énoncé. Tu dis vouloir montrer que , mais c'est faux comme le montre l'exemple et .
Vu que tu parles de similitude dans le titre, on te demande sans doute de montrer que et sont semblables.
Relis soigneusement ton énoncé.

[itslunyitsluny]

Bonjour,non vous n'avez pas compris ce que je voulais dire.
Le but n'est pas de demontrer que A et B sont semblables.
En fait l exo est le suivant:
Soit M une matrice symetrique positive réelle,montrer qu il existe une unique matrice R symetrique positive tel que M=R²
Pour l'existence pas de soucis.
Pour l unicité on suppose qu il existe T symetrique positive tel que T²=M=R²
en utilisant le fait que T et R sont diagonalisables car elles sont symetriques alors:
R=P₁ D P₁^-1 et T=P₂ D P₂^-1 (Je prend la meme matrice diagonale D dans les deux car elles ont meme spectre on peut le demontrer)
On se propose de demontrer que P₁=P₂
Pour cela on demontre que T et R ont les memes espaces propres (on peut le faire mais je ne vais pas expliciter la demonstration)
supposons qu on a établi ce resultat (c est à dire T et R ont les memes espaces propres) comment peut on conclure que P1=P2?
J'espère que ma question est claire maintenant (Pourquoi si T et R ont memes espaces propres alors les matrices de passage sont identiques?)
merci.

[GBZM]

Bonjour,non vous n'avez pas compris ce que je voulais dire.

Normal, tu avais transformé le problème en quelque chose d'incompréhensible, et tu avais mis un titre qui n'a aucun rapport avec la choucroute !

Il s'agit donc de démontrer l'unicité de la racine carrée d'une matrice symétrique positive.
Soit réelle symétrique positive de taille telle que ( symétrique positive).
Les valeurs propres de sont avec . Les sous-espaces propres associés sont et ce sont aussi les sous-espaces propres pour associés aux valeurs propres .
Si est une autre matrice symétrique réelle positive telle que , alors elle a les mêmes valeurs propres et pour chaque le sous espace-propre associé pour est le même que celui associé pour (et le même que celui associé à la valeur propre pour ).
Il en résulte directement que . Pour mieux voir cela on peut raisonner sur les endomorphismes et de de matrices et respectivement. On a pour chaque , et est la somme directe des donc .
Ta piste avec les changements de base est mauvaise car il n'y a aucune raison pour que ton soit égal à ton : les bases des sous-espaces propres ne sont certainerment pas uniques !

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

d'accord j'ai compris merci.