Bonjour,
J'ai cet exercice à faire et j'aimerais bien que quelqu'un me dise si c'est juste ce que j'ai fait:
En titre, j'ai: Théorème de Gauss
Enoncé: Soit r un nombre rationnel dont le carré est un entier. Montrer que r est lui-même un entier.
Soit r un nombre rationnel, donc il existe deux entiers relatifs p et q tels que: r=p/q avec q non nul et p^q=1
* Si q = 1 alors r=p. r est donc entier.
* Si q différent de 1:
On sait que r² est un entier donc r²=p²/q² est un entier.
Comme p^q=1, montrons que p²^q²=1:
D'après le théorème de Gauss:
Si pgcd(a;b)=1 et pgcd(a;c)=1 alors pgcd(a;bc)=1
Prenons a=p et b=c=q, on a alors:
pgcd(p;q)=1 et pgcd(p;q)=1 donc pgcd(p;q²)=1
Prenons cette fois a=q² et b=c=p:
pgcd(q²;p)=1 et pgcd(q²;p)=1 donc pgcd(q²;p²)=1
C'est à dire que p² et q² sont premiers entre eux ce qui est contradictoire avec le fait que p²/q² soit un entier et q différent de 1.
Donc p²/q² est un entier, avec p^q=1 que dans un seul cas, si q=1.
Dans ce cas, r est donc entier
Merci pour votre réponse.
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