Théorème de Gauss
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Théorème de Gauss



  1. #1
    Tulipe18

    Théorème de Gauss


    ------

    Bonjour,
    J'ai cet exercice à faire et j'aimerais bien que quelqu'un me dise si c'est juste ce que j'ai fait:
    En titre, j'ai: Théorème de Gauss
    Enoncé: Soit r un nombre rationnel dont le carré est un entier. Montrer que r est lui-même un entier.

    Soit r un nombre rationnel, donc il existe deux entiers relatifs p et q tels que: r=p/q avec q non nul et p^q=1
    * Si q = 1 alors r=p. r est donc entier.
    * Si q différent de 1:
    On sait que r² est un entier donc r²=p²/q² est un entier.
    Comme p^q=1, montrons que p²^q²=1:
    D'après le théorème de Gauss:
    Si pgcd(a;b)=1 et pgcd(a;c)=1 alors pgcd(a;bc)=1
    Prenons a=p et b=c=q, on a alors:
    pgcd(p;q)=1 et pgcd(p;q)=1 donc pgcd(p;q²)=1
    Prenons cette fois a=q² et b=c=p:
    pgcd(q²;p)=1 et pgcd(q²;p)=1 donc pgcd(q²;p²)=1
    C'est à dire que p² et q² sont premiers entre eux ce qui est contradictoire avec le fait que p²/q² soit un entier et q différent de 1.
    Donc p²/q² est un entier, avec p^q=1 que dans un seul cas, si q=1.
    Dans ce cas, r est donc entier

    Merci pour votre réponse.

    -----

  2. #2
    ThM55

    Re : Théorème de Gauss

    Bonjour. Cela me semble correct. Personnellement j'aurais procédé d'une manière que je trouve plus simple (mais avec un marteau plus massif, donc votre preuve est bonne).

    Soit r = p/q, la fraction réduite (p et q premiers entre eux).

    Si on écrit les décompositions de p et q en facteurs premiers, on voit que r^2 est une fraction où ces deux décomposition apparaissent au numérateur avec des exposant pairs, sans qu'aucun facteur commun nouveau n'apparaisse. Comme r^2 est entier, on a forcément q=1. Donc r est entier.

  3. #3
    GBZM

    Re : Théorème de Gauss

    Bonjour,
    Je reprends tes notations avec . Une rédaction alternative :
    Il existe des entiers tels que . En développant , on obtient qu'il existe des entiers tels que . Donc et puisqu'il divise 1.
    Dernière modification par GBZM ; 09/03/2023 à 18h03.

  4. #4
    Tulipe18

    Re : Théorème de Gauss

    Merci beaucoup

  5. A voir en vidéo sur Futura

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