Petite question sur la differentielle

[itslunyitsluny]

Bonsoir ,
svp j'ai une petite question concernant la differentielle (j'ai pas trouvé de réponse dans mon cours).
si f est une application definie de E vers F avec E,F deux evn, et si f est differentiable sur E alors sa differentielle en un point e de E est definie de E vers F.
Mais si on prend la restriction de f à une partie de A (pas forcement un sous-evn) est que la differentielle de la restriction reste encore definie sur E tout entier?
merci.
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[GBZM]

Bonsoir,
Si tu restreins à un ouvert, oui.

[itslunyitsluny]

En fait dans mon exo on définit une fonction f de Rⁿ vers R de classe C¹, puis on fait une restriction sur la sphère unité (qui est compacte et donc n'est pas un ouvert),cette restriction est notée g.comme g est continue sur cette sphère compacte alors g admet un maximum noté x, donc dg_x=0.Mais dans la suite de mon raisonnement j'utilise que pour tout u dans Rⁿ dg_x(u)=0.Je ne suis sur si c'est correct.

[GBZM]

Non, ce n'est pas correct. La sphère unité est une sous-variété de . Si est un point de la sphère où atteint son maximum, la différentielle est nulle, mais cette différentielle est définie sur l'espace tangent à la sphère en . C'est le sous-espace des tels que (produit scalaire canonique sur ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

Heureusement le vecteur u auquel j'ai appliqué la differentielle est orthogonal à x,mais ce n'est qu une coïncidence. Sinon,est ce qu'il y a une propriété du cours qui permet de savoir le domaine de definition de la differentielle?

[GBZM]

Je ne connais pas ton cours et je ne sais pas s'il aborde la notion d'espace tangent pour une sous-variété de .

[itslunyitsluny]

En fait on a parlé de l ensemble des vecteurs tangents à une partie en un point u.On a dit que v est tangent est à A en un point u s'il existe un chemin f definie sur un intervalle ]-e,e[ à valeurs dans A tq e>0 ,f(0)=u et f'(0)=v.Est ce que c'est ca l'espace tangent dont vous parlez ?

[GBZM]

Oui, c'est ça l'espace tangent, mais la définition que tu cites n'est pas très efficace pour calculer l'espace tangent.
Tu n'as pas vu dans ton cours ce qu'est l'espace tangent à une hypersurface d'équation en un point de l'hypersurface tel que ?

[itslunyitsluny]

si f de classe C1 sur un ouvert O à valeurs dans R,et X la partie definie par f=0 et df_a non nulle,alors T_aX=ker(df_a)

[itslunyitsluny]

mais je ne vois pas le lien entre ceci et le domaine de definition de la differentielle .

[GBZM]

Et pourtant, le lien est direct, et je te l'ai déjà écrit !
Si on a une fonction différentiable , sa différentielle en un point est défnie sur . On a
Pour la sphère unité d'équation , si alors et est bien l'hyperplan des vecteurs orthogonaux à .
Pour une fonction différentiable sur , sa différentielle en est définie sur , et est un point critique de si et seulement si cette différentielle est nulle sur .

[itslunyitsluny]

J'ai compris,merci GBZM !