Densité d'un quotient de variables aléatoires indépendantes

[Ken Masters]

Bonjour à tous !

Je m'adresse à vous pour une petite précision car je n'arrive pas à trouver de réponse sur le net.
Mon problème est le suivant : comment trouver la densité de probabilité d'un quotient de variables aléatoires ?

***Prenons un exemple :

Soit une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite . Si je cherche à calculer la densité de il suffit que je pose une fonction réelle positive, continue et bornée. Puis calculer l'espérance de pour expliciter la densité de .

on a donc (avec un changement de variable ) la relation suivante:


Comme cela est vrai pour toute fonction f, on peut à l'aide du théorème de transfert expliciter la densité de qui est donc la fonction qui à associe


***Le problème se pose quand j'ai deux variables aléatoires, en fait j'essaie de retrouver la loi de Student en montrant que le quotient Z suit cette loi : avec U qui suit une loi normale centrée réduite et V qui suit une loi du .

J'ai pensé à faire comme avant (..poser une fonction f(Z) ) sauf qu'avec deux variables aléatoires, ai-je le droit d'écrire cela dans mon intégrale ? (en posant et les densités de probabilité de et de )



Enfin bref, j'aimerais savoir comment poser ce que je dois mettre dans l'intégrale pour retrouver la densité de probabilité de ma fameuse loi de Student.

Je vous remercie par avance pour vos retours et vous souhaite une excellente soirée.

Amicalement,
Ken
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[gg0]

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