Bonjour,
Dans un exercice je dois montrer que f(x) = x + exp(x) est bijective de R vers R, je comprends qu'il faut montrer que pour tout f(x) correspond un unique x toutefois je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance pour votre temps.
Bonjour,
Il y a plusieurs façons de faire. A mon époque, en terminale, il était classique de montrer que la fonction est strictement monotone et continue sur l'intervalle considéré.
Not only is it not right, it's not even wrong!
euh, les fonctions x^2/(1+x^2) ou arctg x sont monotones et continues sur R mais ne réalisent pas une bijection ...mais je suppose qu'il n'est pas difficile de montrer que quelque soit y constant, la fonction x+exp(x)-y s'annule une fois et une fois seulement.Envoyé par albanxiii
Montrer que exp(x) est strictement croissante n'est pas si évident.
Je n'ai pas compris.
Corrigez mon message directement, ça sera plus simple.
Je laisse arctan de côté, parce qu'on ne parle pas des même espaces de départ et d'arrivée.
Dernière modification par albanxiii ; 21/05/2023 à 08h22.
Not only is it not right, it's not even wrong!
justement il faut aussi étudier l'image et vérifier que c'est bien surjectif sur R , pas seulement qu'elle est continue et strictement monotone (désolé je me suis trompé pour la première, je pensais à x/(1+x2)1/2 qui est bien strictement monotone croissante mais envoie R dans ]-1,1[ )
Nous sommes d'accord.
Si vous avez l'habitude de lire mes réponses, vous verrez que j'essaye de ne donner que le minimum afin de débloquer la personne qui pose la question.
En l'occurence :
était volontairement vague.
Not only is it not right, it's not even wrong!
Bonjour.
On est en mathématiques du supérieur. Donc utiliser les maths du lycée, étudier les variations de f, et parlant de continuité, en conclure le résultat est à la portée d'un étudiant post bac. Laissez le temps à Paradoxe06 de revenir remercier et éventuellement demander des précisions.
NB : Le message #2 est une excellente réponse. Le message #3manque un peu de convivialité en prenant le message précédent comme une correction de l'exercice, ce qui n'est pas l'habitude du forum.
Cordialement.
Bonjour,
je vous remercie pour vos réponses. Si j'ai bien compris, je dois montrer qu'elle est continue, monotone, surjectif sur R et qu'elle ne s'annule qu'une seule fois ?
Merci.
"et qu'elle ne s'annule qu'une seule fois ? " Non, c'est une conséquence de ce qui précède.
En fait, il te suffit de montrer qu'elle est strictement monotone (assure l'injectivité), et continue et varie de -oo à +oo (assure la surjectivité).
Tout ça étant des techniques courantes de L1 (autrefois du très classique de fin de lycée).
Parfait je vous remercie !
