Densité d'une partie de N

[itslunyitsluny]

Bonjour ,
voici un exo que je traite:
1.png

voici une solution proposée:
2.jpg

Je ne comprends pas comment on a pu calculer le cardinal de l'intersection .Veuillez m'éclaircir comment on a pu le trouver.
Merci.
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[erff]

Bonjour,

Prenez des exemples simples pour comprendre la mécanique sous-jacente. Par exemple pour n=999 et n=1999. (Appelons (U_n) cette suite) :
Alors il est clair que U₉₉₉ = (1+10+100)/1000 (car en dessous de 999 seuls les nombres 1, 10, 11, ...19, 100, 101, ..., 199 commencent par le chiffre 1)
En revanche U₁₉₉₉ = (1+10+100+1000)/2000 (car en dessous de 1999 seuls les nombres 1, 10, 11, ...19, 100, 101, ..., 199, 1000, 1001, ..., 1999 commencent par le chiffre 1)
L'idée du corrigé est donc de montrer qu'il existe 2 extractions de la suite (U_n) qui n'ont pas la même limite et que donc, (U_n) ne converge pas. Les extractions proposées sont U_10^n-1 et U_2*10^n-1 et le corrigé prouve qu'elles ont 2 limites différentes.
Le calcul du cardinal dans le cas général peut se faire en utilisant une somme géométrique (somme des 10ⁿ).

[itslunyitsluny]

Bonjour,
Votre explication est claire.
Merci pour la réponse.

[GBZM]

Bonjour,
Variante : prendre pour A l'ensemble des entiers qui ont un nombre pair de chiffres dans leur écriture décimale.

[A voir en vidéo sur Futura]