Alain Connes parle dans le poste.

[Merlin95]

Oui, en fait j'ai compris personnellement, que plusieurs concepts sont liés entre eux : la logique intuitionniste, la logique classique (et je rajoute peut-être aussi l'axiome du choix), les topos bien sûr, les graphes, le continu, l'infini, le calculable en un temps fini et continu, l'interaction, le temps, le psychisme. Ouf je crois avoir fait le tour.

Alors en gros, les topos modèlisent bien, selon les intervenants de la vidéo, le fonctionnement de notre psychisme.
Notre cerveau travaillerait avec l'idée que plus on pense à résoudre une décision, plus on se rapproche de la bonne solution à prendre.
Mais néanmoins, les choix et objectifs restent propres et personnels.

La prise de décision, commence dans notre inconscient et par hypothèse, vit dans le monde la logique intuitionniste, qui est aussi plus « computatoire » que la logique classique, à l'image qu'on peut se faire d'un cerveau.
En effet, l'image est celle d'une machine douée d'une inconscience « vivant » dans l'infini, mais aussi contrainte par le temps, et d'une conscience qui vit dans le fini. La conscience exprime, j'imagine, et aussi interprète le monde avec la logique classique.

Et un topos c'est, on peut dire, notre psychisme c'est-à-dire la réalisation finie, à partir d'une manipulation logique dans le domaine des ensembles infinis et chacun aurait « son topos », sa manière de traiter des ensembles de données en interaction, comme des graphes généralisés à l'infini indénombrables.

Le propre de notre pensée est cette « adéquation », des choses dont nous ignorons d'où elles viendraient, deus ex machina, alors que bon, c'est étonnant.

Le lien avec la psychanalyse est évident mais je n'en parlerai pas, car ce n'est pas mon domaine. Je dirai seulement que j'avais, deus ex-machina, y'en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes.

Bon à mon avis ça soulève beaucoup d'autres nouvelles questions voir objections, mais bon.

Et aussi, les modérateurs ça va sûrement être un casse-tête, rien que mon message, mais bon.
-----

[pachacamac]

Il existe au moins deux autres vidéos sur les liens entre topos et psychanalyse:

Alain Connes et Patrick Gauthier-Lafaye : Un topos sur l'inconscient, 21 mai 2022

Topos de Grothendieck : de la physique à la psychanalyse en passant par la logique, par A. Khélif

[Seirios]

Qui font partie de la liste de vidéos citée deux messages plus haut...

[MissJenny]

encore une fois, ce qui me paraît intéressant c'est le lien entre géométrie et logique. La façon (peut-être erronée) dont je vois la situation est la suivante : les mathématiques sont foisonnantes, mais elle sont toujours fondées sur la même logique (alors qu'il existe plusieurs logiques). Pour prendre un exemple concret, quand on ouvre un livre de mathématiques, on n'y trouve jamais de phrase comme "nous travaillerons dans tel cadre logique", c'est toujours implictement la logique la plus traditionnelle. Sans-doute qu'il y a une bonne raison à cela. Là il est question d'une (relativement) nouvelle géométrie et qui serait mieux exprimée (si j'ai bien compris) dans un nouveau cadre logique. J'aurais aimé qu'un mathématicien commente ce point.

[oualos]

La prise de décision, commence dans notre inconscient et par hypothèse, vit dans le monde la logique intuitionniste, qui est aussi plus « computatoire » que la logique classique, à l'image qu'on peut se faire d'un cerveau.
En effet, l'image est celle d'une machine douée d'une inconscience « vivant » dans l'infini, mais aussi contrainte par le temps, et d'une conscience qui vit dans le fini. La conscience exprime, j'imagine, et aussi interprète le monde avec la logique classique.

Et un topos c'est, on peut dire, notre psychisme c'est-à-dire la réalisation finie, à partir d'une manipulation logique dans le domaine des ensembles infinis et chacun aurait « son topos », sa manière de traiter des ensembles de données en interaction, comme des graphes généralisés à l'infini indénombrables.

Le propre de notre pensée est cette « adéquation », des choses dont nous ignorons d'où elles viendraient, deus ex machina, alors que bon, c'est étonnant.

Là j'ai compris -c'est pas mal expliqué, félicitations!- et en fait c'est une ouverture de tout ce qui concerne la résolution de problème vers l'infini, sauf que pour la physique l'infini n'existe pas.
Mais peut-être que pour les mathématiciens...
On revient vers une sorte de schéma platonicien mais les mathématiques du XXIème siècle sont passées par là et entre temps on a rajouté une foule d'objets que Platon ne pouvait pas connaître à son époque.

Le lien avec la psychanalyse est évident mais je n'en parlerai pas, car ce n'est pas mon domaine.

Il est parti du mathème de Lacan pour construire un objet mathématique sans doute complet et consistant (?) ce que Lacan était incapable de faire n'étant pas mathématicien.

Je dirai seulement que j'avais, deus ex-machina, y'en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes.

Je voulais juste un train pour Pau hein ?

[Liet Kynes]

Peux-tu démontrer par la langage naturel que le langage existe ?

Oui

CQFD.

[Merlin95]

Jenny je n'avais pas entendu d'idées sur la géométrie (mais plutôt par exemple, sur la non-commutativité).

Pourrais-tu indiquer à quelles secondes de la vidéo, tu as entendu parler de la géomètrie ?
Je pense que ça pourra aider tout le monde, y compris aussi les spécialistes que tu recherches, à te répondre peut-être.

[Liet Kynes]

L'idée se passe là à priori: https://www.oliviacaramello.com/Unif...aCaramello.pdf

"“C’est le thème du topos qui est ce “lit”, ou cette “rivière profonde” où
viennent s’épouser la géométrie et l’algèbre, la topologie et
l’arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories,
le monde du continu et celui des structures “discontinues” ou “discrètes”.
Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse,
par un même langage riche en résonances géométriques,
une “essence” commune à des situations des plus éloignées
les unes des autres provenant de telle région ou de telle autre
du vaste univers des choses mathématiques”.
A. Grothendieck"

[oualos]

Citation Envoyé par oualos
Peux-tu démontrer par le langage naturel que le langage existe ?

Oui

CQFD.

c'est bien tu as démontré ce qui n'a pas besoin d'être démontré: en linguistique ça s'appelle un énoncé performatif.
si tout était aussi simple...
Pour revenir au sujet, une video explicative des topos

[Anonyme007]

Bonsoir,

encore une fois, ce qui me paraît intéressant c'est le lien entre géométrie et logique. La façon (peut-être erronée) dont je vois la situation est la suivante : les mathématiques sont foisonnantes, mais elle sont toujours fondées sur la même logique (alors qu'il existe plusieurs logiques). Pour prendre un exemple concret, quand on ouvre un livre de mathématiques, on n'y trouve jamais de phrase comme "nous travaillerons dans tel cadre logique", c'est toujours implictement la logique la plus traditionnelle. Sans-doute qu'il y a une bonne raison à cela. Là il est question d'une (relativement) nouvelle géométrie et qui serait mieux exprimée (si j'ai bien compris) dans un nouveau cadre logique. J'aurais aimé qu'un mathématicien commente ce point.

Un topos est le lieu d'interprétation d'une théorie mathématique, de la meme manière que est le lieu interprétation de l’arithmétique de Péano .
Interpréter une théorie signifie associer une valeur de vérité à ses objets : ''sentences''.
Un topos est simplement une catégorie.

- La catégorie des ensembles est un topos.
- est un topos d'une certaine manière.

Un topos dispose d'un objet particulier qui s’appelle classifiant de sous objets qui contient les valeurs de vérité de la théorie. Pour le topos , on a, .
Un topos dispose d'un objet particulier pour tout objet de ce topos, et qui s’appelle : Classe de sous objets de .
On a, .
Dans le topos, , on a, s’identifie à, , l'ensemble des parties de . Et on a, .
Dans le topos, , on a, est une algèbre de boule.
Dans un topos quelconque en général, est une algèbre de Heyting.
Une algèbre de boule est un cas particulier d’algèbre de Heyting.
est l’algèbre de logique d'un topos, de sorte que l’image des objets de la théorie dans donne l'interprétation de la théorie.
Par définition, la logique est la combinaison d'un syntaxe ( Langage ) et d'une sémantique ( Une interprétation dans une structure )
Une structure dans notre cas, est un topos ( Lieu d'interprétation ).
On identifiera désormais logique et car, est l'algèbre qui interprète le sens des ''sentences'' d'une théorie par un spectre de valeurs de vérités : vrai , faux, vrai , faux , ... etc.
Dans le topos, , on a, ne contient que deux valeurs de vérité : ou , c'est à dire, vrai ou faux. Il n y a pas par exemple, vrai, ou faux , ... etc. Bref, il n y pas une troisième alternative. On dit que le tiers est exclus, et que est une algèbre de boule, et que la logique est classique.
Si le tiers n'est pas exclus, on tolère des valeurs de vérité du genre vrai , faux , ... etc, comme éléments de , et devient de plus en plus gros, et on dit que est une algèbre de Heyting, et que la logique est intuitionniste.
D'où, l’émergence de plusieurs sortes de logique comme tu le souhaites MissJenny.
Maintenant, on passe au lien avec la géométrie,
Par définition ( Pour se mettre d’accord ), la géométrie associée à une logique définie par est le lieu d’interprétation d'une théorie. C'est le topos lui meme.
Pour mieux saisir l'idée, la notion de topos, à ses débuts, était conçu pour donner une généralisation ''top'' à la notion d’espace ( topologique et en particulier géométrique ).
C'est Grothendieck qui s'est donné la peine de réaliser cet idée folle, après avoir réussi à généraliser la notion de variétés à celle de schémas qui est une construction plus générale qu'une variété.
Une variété est un lieu géométrique défini par des équations ( Une sphère ou un tore sont des exemples de variétés ).
Bref, Grothendieck a montré que tout espace topologique et en particulier tout espace géométrique se plonge dans un topos. ( Un sous topos, donc, un espace géométrique est effectivement un topos ).

J'espère que je n’ai pas fait d'erreurs dans tout ce que j’ai expliqué. Sinon, vous me corrigez vous tous.

[Anonyme007]

Là il est question d'une (relativement) nouvelle géométrie et qui serait mieux exprimée (si j'ai bien compris) dans un nouveau cadre logique.

D’après ce que je viens de lire tout à l'heure sur le net, il existe une théorie mathématique qui utilise une logique différente de la logique classique. Il s'agit de : SDG ( i.e, Synthetic Différential Geometry ).
Voir,
- https://en.wikipedia.org/wiki/Synthe...ntial_geometry
- https://math.stackexchange.com/quest...-smooth-spaces

[MissJenny]

Pourrais-tu indiquer à quelles secondes de la vidéo, tu as entendu parler de la géomètrie ?

j'avais l'impression que la théorie des topos était une théorie géométrique, mais d'après la réponse d'Anonyme007 il semble que non (il faut que j'essaie de comprendre sa réponse...)

[Anonyme007]

La théorie des topos est en meme temps;
- Une théorie géométrique ( dans le sens où tout espace géométrique ou topologique est un topos )
- Une théorie catégorique ( dans le sens où tout topos est une catégorie )
- Une théorie logique ( dans le sens où tout topos est le lieu d'interprétation de toute théorie à une logique )

[Merlin95]

Pas trop sûr de saisir mais my two cents :

Géométrie c'est-à-dire liste de théorèmes de la géomètrie dans l'espace classique 3D, satisfaits sur des objets mathématiques d'un autre espace (conceptuel, plus classique) qui forment donc une géométrie.

Dans cet espace conceptuel, il peut y avoir plusieurs types de géométrie, contrairement à l'espace classique où à part quelques axiomes (genre d'Euclide) en plus ou en moins, je ne sais pas s'il y a d'autres géométries possibles.

J'ai du mal à imaginer qu'on puisse ou qu'il soit plus productif, de réfléchir dans l'espace 3D avec d'autres objets que les droites, les points, etc.

[gg0]

Bonjour Merlin95.

Dans le plan ou l'espace, suivant le choix des axiomes, il y a plusieurs géométries classiques. En plus de la géométrie euclidienne, on a la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique, dont les axiomes diffèrent peu de ceux de l'euclidienne; mais en affaiblissant les axiomes, on définit classiquement la géométrie affine, la géométrie projective, voire même la géométrie d'incidence. En modifiant la notion de distance, on obtient aussi d'autres sortes de géométrie.

En fait, une géométrie, c'est un ensemble (un "espace") et un groupe de transformations de cet ensemble (ce qui généralise la géométrie euclidienne et ses transformations du plan et de l'espace). Comme on a cette situation dans de nombreuses théorie, on fait des interprétations géométrique de nombreuses situations. Par exemple, en probas, l'espérance mathématique est une projection sur un certain sous-espace de l'espace des variables aléatoires. Comme on a des outils classiques de calcul sur les projections, on peut les appliquer en probas.

Cordialement.

NB : Je n'interviens pas sur le sujet de cette discussion, je ne parle pas de ce que je ne connais pas.

[Merlin95]

Ok merci, on a envie d'y réflechir.
Par exemple, existe-il plusieurs notions de perpendicularité dans les géométries 3D que vous citez ?

Sinon, quand j'évoquais les géométries 3D autres que celle du point et de la droite etc. je faisais allusion à des géométries autres que celles issues de la combinaison des (5 je crois) axiomes d'Euclide.

[oualos]

Dans la conférence d'Alain Connes que j'ai donnée en lien Youtube au-dessus, "un toto sur les topos", il faut être hautement spécialisé en maths pour pouvoir suivre.
Il dissèque toute la démarche de Grothendieck depuis les faisceaux jusqu'au topos et son invention par lui-même et parle de faisceaux injectifs, de conjecture de Weil etc.

La conférence de A. Khélif est plus transversale car la question de base est "Y a-t-il un topos pour l'inconscient ?"
Mais il dérive très vite vers la physique quantique et la superposition des états ce qui complique notamment.
Le problème est qu'il ne donne aucune conclusion à cette affaire et qu'il donne un peu l'impression de survoler son sujet.
https://www.youtube.com/watch?v=6_2YsdOMSVY&t=496s
De façon rudimentaire, certains ont dit que les pensées se superposent dans le cerveau humain et chacune suit sa route jusqu'à arriver au résultat escompté: d'où cette idée de fonctionnement quantique de la pensée.
Ce qui nous rapproche du résumé de Merlin en haut de la page, l'idée d'un fonctionnalisme de la pensée dans la résolution de problème dont l'inconscient serait le moteur-clé et pour lequel le temps n'existerait pas: sinon encore merci pour votre résumé, c'est très clair ce travail que vous avez fait!

[GBo]

Sauf que l'inconscient tel que la psychanalyse le présente est abscons, daté et anti-scientifique au possible, battu en brèche depuis par l'apport expérimental des neurosciences, et tu le sais très bien oualos, inutile de boire du petit lait et nous traiter de scientistes.
Alain Connes constitue une belle prise pour les lacaniens qui voulaient se venger du portrait peu flatteur qu'ont fait de Lacan les physiciens Sokal et Bricmont dans leur bouquin (qu'il faut lire) "Impostures intellectuelles". Ils auront juste réussi à décrédibiliser un médaillé Fields en fin de carrière.

[gg0]

Merlin95,
Dans les 3 géométries (euclidienne, hyperbolique, elliptique), la notion de perpendiculaires existe, mais les liens avec les parallèles changent. En affine, pas de perpendiculaires, ni en projective.
Chez Euclide, il y avait 5 axiomes de donnés (dont le 5ème, celui des parallèles), mais d'autres étaient utilisés sans le dire.

Cordialement.

[oualos]

Sauf que l'inconscient tel que la psychanalyse le présente est abscons, daté et anti-scientifique au possible, battu en brèche depuis par l'apport expérimental des neurosciences, et tu le sais très bien oualos, inutile de boire du petit lait et nous traiter de scientistes.
Alain Connes constitue une belle prise pour les lacaniens qui voulaient se venger du portrait peu flatteur qu'ont fait de Lacan les physiciens Sokal et Bricmont dans leur bouquin (qu'il faut lire) "Impostures intellectuelles". Ils auront juste réussi à décrédibiliser un médaillé Fields en fin de carrière.

Vous manquez complètement et simplement l'aspect transversal de la démarche d'Alain Connes: lui est médaillé Fields et vous ?
Vous avez lu les "sciences nomades" écrit par Isabelle Stengers éminente épistémologue et Prigogine prix Nobel de chimie ?
Je suis sûr que non.
Alain Connes s'en fiche éperdument que la définition de l'inconscient par la psychanalyse soit pas celle selon les canons des sciences exactes comme celle des neurosciences, moi aussi et j'ai un profond respect pour les neurosciences: les sciences exactes n'ont jamais su guérir l'anxiété, les troubles profonds du psychisme, et le reste.
Il y a peu de temps encore on pratiquait les lobotomies -voir vol au-dessus d'un nid de coucou-, les camisoles de force et les camisoles chimiques pour "soigner" les gens.
Il n'est pas le seul -loin de là- à tenter des démarches transverses: généralement ce sont des sciences humaines vers les sciences exactes mais là c'est l'inverse qui se produit. Et alors ?
Il apporte un savoir et une méthode aux sciences humaines et à la psychanalyse surtout lacanienne: et il n'est pas le seul apparemment.
La sainte Inquisition a décidé que l'inconscient de la psychanalyse est à bannir et donc out Alain Connes?
Faites comme vous voulez

[Liet Kynes]

les sciences exactes n'ont jamais su guérir l'anxiété, les troubles profonds du psychisme, et le reste[/U].
Il y a peu de temps encore on pratiquait les lobotomies -voir vol au-dessus d'un nid de coucou-,......
et donc out Alain Connes?

Oui complètement out sur cette démarche lobotomisante : il n'est pas compliqué de comprendre que certains raccourcis ne sont pas des preuves. Alain Connes est tombé dans le piège mais on n'est pas obligé de faire de même au regard d'une médaille.
Les maths devraient d'ailleurs bannir ce genre de démarche : Grigori Iakovlevitch Perelman est le seul affranchi connu à ce jour depuis la création de cette aberration.

[Archi3]

On est vraiment dans les "mathématiques du supérieur" là ?

[GBo]

On est vraiment dans les "mathématiques du supérieur" là ?

On est sur un fil qui discute d'une émission de radio où le grand mathématicien, je cite le 1er post, "fait le lien entre géométrie, logique et psychanalyse". Chercher l'intru.
Et à cause de cet intru que Connes introduit sans sourciller dans son giron, il est impossible de ne causer que de mathématiques.

[Archi3]

J'entends bien mais il ne me semble pas que ce genre de discussion fasse partie des programmes de maths du supérieur, enfin je dis ça, mais c'est à la modération d'en juger bien sûr.

[stefjm]

Y a une limite haute à mathématique du supérieur?

[ArchoZaure]

Bonjour.

On est sur un fil qui discute d'une émission de radio où le grand mathématicien, je cite le 1er post, "fait le lien entre géométrie, logique et psychanalyse". Chercher l'intru.
Et à cause de cet intru que Connes introduit sans sourciller dans son giron, il est impossible de ne causer que de mathématiques.

Mais qui parle de psychanalyse ?
C'est pas dans le titre de la discussion sur Radio France.
C'est pas dans le résumé sur Radio France.
C'est pas dans les dizaines de premières minutes de la discussion elle-même (bon c'est peut-être après mais Alain Connes m'a perdu assez rapidement dans les rapides de sa pensée, que je soupçonne néanmoins parfaitement valable.)
Moi j'ai juste compris qu'il disait sur la base de son expérience personnelle qu'il était possible (pour certains individus prédisposés) de savoir des choses sans les démontrer mathématiquement, par l'intuition, ce qui permet d'imaginer que "le calcul" se fait "à peu près" au niveau de l'inconscient.
Pas de l'inconscient "psychanalytique", mais des processus inconscients, bien connus et donc scientifiquement recevables.

J'ai l'impression que la confusion vient de là : Croire que lorsqu'on fait référence à l’inconscient il est question de psychanalyse.
Il existe une tonne de processus automatiques dans le cerveau qu'on peut classer dans "l'inconscient."

[Anonyme007]

Moi, je plussoies l'auteur de ce fil d’avoir ouvert cette discussion sur la théorie des Topos, car, vous n’imaginez pas son importance.
L'usage de la théorie des Topos nous apprend à acquérir le sens de disposer d'un septième sens, celui d'avoir la faculté de repérer facilement les analogies entre deux phénomènes qui n'ont à priori aucune ressemblance en commun.
Donc, celui qui maitrise bien la théorie des topos sera capable d'apprendre les mathématiques ( toute la mathématique dans son ensemble ) dans une durée très courte d'un an par exemple, alors qu'un autre homme ordinaire qui n’est pas familier avec cette théorie aura besoin de 15 ans ou plus pour atteindre le niveau du premier homme qui connait la théorie des topos.
L'idée est simple : Par exemple, si tu connais une seule théorie mathématique (Par exemple, géométrie différentielle ), tu connais forcément toutes les autres théories sans les avoir jamais apprises (Par exemple, géométrie algébrique, géométrie non commutative, topologie algébrique ... etc ). C'est comme en développement informatique, si tu connais ou tu sais programmer avec le langage C, tu sais forcément programmer avec Python, ou C++ ou Turbo Pascal ... etc, à quelques différences banales près. D'où l’importance d’apprendre la théorie des Topos et ses applications.

[Liet Kynes]

Donc, celui qui maitrise bien la théorie des topos sera capable d'apprendre les mathématiques ( toute la mathématique dans son ensemble ) dans une durée très courte d'un an par exemple, alors qu'un autre homme ordinaire qui n’est pas familier avec cette théorie aura besoin de 15 ans ou plus pour atteindre le niveau du premier homme qui connait la théorie des topos.

Combien de temps pour connaître bien cette théorie ? La limite haute de la durée peut résider dans la durée de la vie humaine pour certains et pire, même un immortel peux ne jamais comprendre cette théorie.

L'idée est simple : Par exemple, si tu connais une seule théorie mathématique (Par exemple, géométrie différentielle ), tu connais forcément toutes les autres théories sans les avoir jamais apprises (Par exemple, géométrie algébrique, géométrie non commutative, topologie algébrique ... etc ).

La stratégie serait alors de commencer par la plus fastoche du coup, mais laquelle est-ce si elles sont toutes équivalentes ?

[ArchoZaure]

La stratégie serait alors de commencer par la plus fastoche du coup, mais laquelle est-ce si elles sont toutes équivalentes ?

Non mais je pense que vous ratez le point, ça marche presque dans l'autre sens.
S'il existe des automatismes qui se créent dans le cerveau. Lorsqu'un individu "capable" de maitriser une certaine théorie comprend facilement une autre, c'est qu'il existe des liens, non pas seulement dans le cerveau... mais aussi entre les théories.
D'une certaine manière, si on le pouvait (et peut-être que ce sera le cas un jour), voir comment fonctionne le cerveau permettrait de qualifier la théorie mathématique elle-même, en dehors de la compréhension arbitraire du mathématicien d'une certaine époque.
"Les formules" si je puis utiliser cette qualification un peu désuète, sont inscrites dans la structure neuronale qui fait ses preuves dans l'énoncé mathématique.

[Anonyme007]

Combien de temps pour connaître bien cette théorie ?

Moi, je te parle de part mon expérience,
Moi, avant d’appendre la théorie des topos, je connaissais à peu près la plupart des grandes fameuses théories des mathématiques. Je n'ai pas trouvé des difficultés à l’apprendre, ça m'a pris une seule journée pour l’apprendre. Un simple cours d'une cinquantaine de pages. Mais, ça m'a pris du temps pour la digérer bien sûr, mais pas beaucoup. Mais, au final, j'ai gagné beaucoup de choses, c'est que je peux me déplacer d'une théorie à l’autre sans aucune difficulté et je continue à développer d’autres ponts entre théories qui n'ont pas été encore exploré. Ce qui crée en moi une véritable qualité de chercheur en mathématiques ( sans prétention ) meme si je ne suis pas un chercheur dans la vie quotidienne pour des raisons qui sortent du cadre de notre discussion, et c'est ça ce qui est important, c'est d'apprendre à être prolifique en mathématique en toute facilité. Grothendieck l'a bien compris très précocement, c'est pourquoi, il est l'un des plus prolifique en mathématiques de son temps.

La stratégie serait alors de commencer par la plus fastoche du coup, mais laquelle est-ce si elles sont toutes équivalentes ?

C'est le but de la théorie des topos. C'est de rendre toutes les théories équivalentes. Mais, ce n'est pas encore ''mission accomplie''. Il reste encore du travail à faire par les chercheurs du monde académique. et ça ne terminera jamais, en fonction des nouvelles théories et idées qui se découvrent chaque minute et qui font la richesse des mathématiques.