limite et fonction continue

[Bangla]

Bonjour,

Est-ce que ceci est toujours vraie : soit (u_n)_n une suite convergeant vers a, et f une application continue en a. Alors (f(u_n))_n converge vers f(a) ?

J'ai une démo qui affirme que oui.
Mais il y a un truc que je ne comprends pas. Si je prends la suite (v_n) définie par v_n=u_n^2 telle que v_n converge vers 4. La fonction racine carrée est continue en 4, donc on aurait que f(v_n)=f(u_n^2)=|u_n| converge vers 2, n'est-ce pas ?
Mais du coup, a-t-on (u_n) qui converge vers 2 ou vers -2 ?

Qu'est-ce qui cloche dans ce que j'écris ?

Merci !
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[GBZM]

Bonsoir,

Rien ne cloche, à part le fait que tu vois une contradiction là où il n'y en a pas.

[pm42]

Est-ce que ceci est toujours vraie : soit (u_n)_n une suite convergeant vers a, et f une application continue en a. Alors (f(u_n))_n converge vers f(a) ?

Oui. C'est pratiquement une définition de la continuité.

Mais du coup, a-t-on (u_n) qui converge vers 2 ou vers -2 ?
Qu'est-ce qui cloche dans ce que j'écris ?

Condition nécessaire vs condition suffisante.
Une suite peut très bien ne pas converger mais f(u_n) oui.

[gg0]

Savoir que |u_n| converge vers 0 donne u_n tend vers 0. mais ceci n'est vrai que pour 0.
Tu peux facilement trouver une suite divergente u_n telle que |u_n| converge vers 2.

Cordialement.

NB : Rien à voir avec la continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]