Correction fausse : topologie espace vectoriel fermé

[Loosgin]

Je suis entrain de faire l'exercice 1 de cette ressource web :
Ressource web

Et il faut dire si l'ensemble suivant est fermé ou ouvert :

A={(x,y)∈R^2 / 0 < |x−1| < 1}

Or dans la correction, il stipule :

A n'est pas fermé, car la suite (un) définie par est une suite d'éléments de A qui converge vers (0,0) qui n'est pas dans A.

Dire ça :

est une suite d'éléments de A

, c'est faux, on est d'accord ???? Car comme dit l'exercice, quand n tend vers l'infini, la suite prend comme valeur 0 qui n'est pas un élément de A....

Merci de m'éclairer mon cerveau.
Loosgin.
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[Resartus]

Bonjour
Attention à ne pas traiter l'infini comme un nombre "normal". Quel que soit n, 1/n ne vaut pas 0. et donc tous les points sont bien dans A.
Et donc non, la suite ne prend PAS comme valeur 0. Elle tend vers zéro, ce qui est très différent.

[MissJenny]

Si on comprend R^2 comme le produit de R par R, et donc la topologie de R^2 comme la topologie produit, alors par définition la projection (x,y) -> x est continue et A est l'image réciproque d'un ouvert de R par cette projection. Mais ça suppose connus les ouverts de R.

[Loosgin]

@Resartus merci beaucoup! Je comprends mieux maintenant : la lim de la suite (ici 0) ne peut pas être traité comme un nombre/élément. Donc, cette suite est bien un sous-ensemble de A.

@MissJenny merci pour votre apport d'information.

[A voir en vidéo sur Futura]