je cherche une forme linéaire

[La Limule]

Bonjour,

Je cherche une forme linéaire positive définie sur les fonctions f bornées de la droite réelle.
Mais j'aimerais qu'elle ne dépende que de la forme de la fonction f et des valeurs atteintes par f
Ainsi par exemple elle attribuerai la valeur 1 a la fonction constante égale a 1 partout et donc s a la fonction constante f(x) = s
Elle donnerait une meme valeurs a toutes les gaussiennes ayant 1 comme valeur maximale (quelque soient leur position et leur largeur)
De meme pour les sinusoides etc
Merci a tou(te)s
-----

[Resartus]

Bonjour,
Cela ne semble pas possible pour une forme LINEAIRE. Prenons votre exemple des sinusoides :
soit S et C les fonctions sin(x) et cos(x). Alors on aurait :
f(S)=f(C)=1 et f(C)+f(S)=2. Or S+C est aussi une sinusoide de même période d'où f(C+S)=racine(2)

La démonstration est légèrement plus compliquée si on se limite aux fonctions positives par exemple C+1 et S+1, mais on arrive également à une non linéarité

[La Limule]

les fonctions de meme allure ne sont pas censées donner le meme valeur par la forme f. j'ai donné l'exemole des fonctions constantes = 1 et = s pour les quelles la forme donne les
valeurs 1 et s
si une sinusoie S donne f(S) = k f(2S) = 2k
la forme depend des formes mais aussi des valeurs atteintes. S arreint 1 mais pas 2 contrairement a 2S.

[gg0]

Bonjour.

Il faudrait être un peu plus cohérent :
"j'aimerais qu'elle ne dépende que de la forme de la fonction f et des valeurs atteintes par f"
"les fonctions de même allure ne sont pas censées donner le même valeur par la forme f."
et éviter les phrases sans signification : "si une sinusoie S donne f(S) = k f(2S) = 2k "
A savoir :
* les courbes de sin et cas ont la même forme (seulement décalée).
* Si f est linéaire l'égalité f(S) = k f(2S) dit que k=1/2, donc f(S) = k f(2S) =2k dit que f(S) = 1.

NB : Pourquoi cette question si floue ? A quoi servirait cette forme linéaire ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Je cherche une forme linéaire positive définie sur les fonctions f bornées de la droite réelle.

seulement bornées? ou bien continues, ou mesurables?

[La Limule]

Voici D'ou vient ma question:
j'ai vu une vidéo racontant la rencontre entre Alain Connes et Jacques Dixmier
https://vimeo.com/328803321
Connes indique avoir été impressionné par un papier de deux pages écrit par Dixmiet en 1966 intitulé Existence de traces non normales
et que c'était ce qui lui manquait pour sa géométrie non commutative.
Apres une courte introduction , ce papier commence ainsi:

Soit R l'ensemble des rééls, B1 l'espace vectoriel des fonctions réelles bornées sur R. Soit G le groupe des transformations affines
(x -> ax + b a et b réels a étant non nul) sur R . Le groupe G opere par transport de structure sur B1. Il existe une forme linéaire
1 mpositive m sur B1 invariante par G telle que m(1) = 1. (il est indiqué que son existence fut démontrée par Von Neumann)

Si je ne fais pas d'erreur de compréhension ca signifie que m( f(ax+b) = m(f(x) . avec donc insensibilité de m aux translations et changement d'échelle sur les x)

[La Limule]

Si l'on m(f) = l quand f tend vers la l'infine ca colle avec la défiinition mais a quoi serait égal m(sin)?

[Resartus]

bonjour,
Qu'est-ce que vous n'avez pas compris dans mon contrexemple? Les fonctionx cos(x), sin(x) et cos(x-Pi/4) n'ont pas seulement " la même allure". Elles sont identiques à une translation des x près

Je détaille ma démonstration :
Je rappelle la définition d'un forme linéaire : pour tous a, U et V f(aU)=af(U) et f(U+V)=f(U)+f(V)
Soit f la forme linéaire et soit la fonction C=cos(x). Posons f0=f(C). pour tout a f(aC)=af0.
Si en outre la forme est invariante par translation des x de la fonction, alors f(sin(x))=f(cos(x-pi/2) vaut également f0.
Or, cos(x)+sin(x) vaut racine(2)*cos(x-pi/4). Donc f(cos(x)+sin(x))= racine(2)*f(cos(x-pi/4)=racine(2).f0
Mais si f est linéaire, f(S+C) devrait être égal à f(S)+f(C) et donc valoir 2.f0
Contradiction.

les fonctions de meme allure ne sont pas censées donner le meme valeur par la forme f.

[Resartus]

Suite :
La seule possibilité est donc que la forme donne zero pour toutes les sinusoides, et plus généralement pour toutes les fonctions périodiques.
Cela implique peut-être que la seule forme répondant au critère serait celle qui donne la valeur moyenne de la fonction
(A demontrer en utilisant la transformation de fourier?)

[MissJenny]

Je cherche une forme linéaire positive définie sur les fonctions f bornées de la droite réelle.

si c'est à cela que tu penses : https://en.wikipedia.org/wiki/Dixmier_trace c'est une forme linéaire sur un ensemble d'endomorphismes d'un espace de fonctions, pas une forme linéaire sur les fonctions elles-mêmes. Enfin, c'est ce que je comprends...

[La Limule]

@MissJenny
Dans le post 6 j'ai recopié mot a mot le début du papier de Dixmier. la citation commence a "Soit R l'ensemble des réélss ....) Je pense qu'il faut rester sur ce qu'il dit (il ne parle pas encore de trace)

[La Limule]

@Resartus
Tu écris des choses justes puis tu conclus par d'ou la contradiction.
contradiction avec quoi?

[GBZM]

Bonjour,

Ce que resartus montre, c'est qu'une forme linéaire sur l'espace des fonctions bornées sur qui est invariante pour l'action à droite du groupe affine est forcément nulle sur les fonctions .
Par ailleurs l'existence d'une telle forme linéaire valant 1 pour la fonction constante 1 est assez évidente (prendre une base contenant cette fonction pour le quotient de l'espace des fonctions bornées par l'action du groupe affine). Le problème est bien sûr avec la positivité. Il semble qu'on puisse trouver la démonstration dans un article - en allemand - de von Neumann datant de 1929.
C'est à rapprocher du théorème de représentation de Riesz. Ce dernier concerne les fonctions continues à support compact et dit que les formes linéaires positives dans ce cas sont données par l'intégration pour une mesure borélienne.

[La Limule]

@Resatus
merci pour ta réponse. J'avais betement buté sur le mot contradiction. Puis j'ai lu qu'il était alors nécessaire que m(cos)
= m(sin) = 0

[La Limule]

@GBZM
A propos de la démonstration en allemand par Von Neumann, je recommande cette vidéo
C'est un vrai régal cette conférence. Le conférencier est plein d'humour. Ses étudiants ont de la chance.
le titre de la conférence est Moyennes et démesure
Il y parle du génial jeune hongrois Janos Layos Neumann mais aussi du paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski...

[Resartus]

Bonjour,
Je relance ce sujet, car j'ai du mal à comprendre la problématique sous-jacente
La forme "valeur moyenne" (à un facteur multiplicatif prés ) est bien une forme linéaire positive qui répond à la question posée par La Limule.
Vu qu'une telle forme doit donner une valeur nulle pour les sinusoides, elle doit également être nulle pour toutes les fonctions périodiques de valeur moyenne nulle, et par extension, pour toutes les fonctions qui ont une transformée de Fourier dont la valeur pour zero est nulle.

Mais alors, qu'est ce qui peut expliquer l'enthousiasme de Connes?
Qu'il existe des formes donnant un résultat positif non nul pour certaines fonctions de valeur moyenne nulle? Ce que laisserait entendre le titre "traces non normales"?
J'avoue être curieux de comprendre à quoi peuvent bien ressembler de telles fonctions qui doivent être particulièrement biscornues puisqu'elles n'ont pas de transformée de Fourier.

Bonjour,

Ce que resartus montre, c'est qu'une forme linéaire sur l'espace des fonctions bornées sur qui est invariante pour l'action à droite du groupe affine est forcément nulle sur les fonctions .
Par ailleurs l'existence d'une telle forme linéaire valant 1 pour la fonction constante 1 est assez évidente (prendre une base contenant cette fonction pour le quotient de l'espace des fonctions bornées par l'action du groupe affine). Le problème est bien sûr avec la positivité. Il semble qu'on puisse trouver la démonstration dans un article - en allemand - de von Neumann datant de 1929.
C'est à rapprocher du théorème de représentation de Riesz. Ce dernier concerne les fonctions continues à support compact et dit que les formes linéaires positives dans ce cas sont données par l'intégration pour une mesure borélienne.

[La Limule]

Alain Connes explique ici ce qui l'avait émerveillé avec la trace de Dixmier
https://vimeo.com/328803321

[La Limule]

Et il y dit qu'il pensait avoir créé un truc monstrueux et inutile.

[La Limule]

je viens de trouver cet article.
il explicite le pourquoi et le comment a propos des deux pages de Jacques Dixmier.
https://ems.press/journals/lem/articles/13991
Il s'intitule Trace de Dixmier et autres traces

[Resartus]

Merci, Très intéressant (bien que largement au dessus de mon niveau de compétence pour la fin)

Ce qui me rassure, c'est que les formes linéaires en question, baptisées "moyennes invariantes" satisfont bien
"m (f) est nul pour tout f à support fini, puis, par continuité, pour tout f tendant vers 0 à l’infini".*
Et sont juste une généralisation de la moyenne usuelle aux cas où celle-ci n'est pas calculable. Pas de cas pathologiques comme je l'avais craint dans mon message précédent...

*par exemple, pour les gaussiennes dont tu parlais dans ton premier post

[La Limule]

Moi aussi pas mal de choses dépassent ma compréhension. Mais a la fin de l'article quand apparait le dx a la puissance p, ca me rappelle le passage de la vidéo ou Alain Connes rappelle que dans les intégrales habituelles le notation dx (idem pour le delta de Schwarzç n'avait pas de sens si non couplé avec le signe d'intégration.
l'article rappelle que ce qui remplace l'infinitésimal dx c'est un opérateur compact en l'occurence le commutateur
[F,x] et en tant que commutateur on peut l'élever a la puissance p contrairement par exemple a dx ou a celui de Schwartz.
un operateur c'est bien défini. une trace aussi et donc la trace de Dixmier met en rapport deux choses bien définies séparément.
ceci dit la fin de l'article je le comprendrai dans une prochaine vie.