Groupe localement compact.

[Anonyme007]

Bonjour,

Soit un groupe localement compact muni d'une mesure de Haar à gauche tel que .
On suppose qu'il existe une suite croissante de sous groupes compacts de vérifiant, .

Comment montrer qu'il existe tel que pour tout , on ,

Merci d'avance.
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[GBZM]

Bonjour,

La suite des est croissante, et sa borne supérieure est (propriété de la mesure).

[Anonyme007]

Bonsoir,

Merci pour tes indications GBZM.

Voici comment je réponds à cette question ( par absurde ),

Par absurde, supposons que pour tout , .
D’après ton indication GBZM,

D'où, . ( Contradiction ).

Par conséquent, il existe , .
Puisque, est une suite croissante, alors, pour tout , .
CQFD.

[GBZM]

Le passage par l'absurde est complètement inutile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Comment peut-on faire mieux GBZM ?

[GBZM]

Prends le temps d'y réfléchir par toi-même.

[Anonyme007]

Peut être qu'il faut utiliser la définition de la notion de borne supérieure d'une suite dans cette question. C'est ça ?

[GBZM]

La définition de limite, oui. Vas-y !

[Anonyme007]

D'accord. Alors, par hypothèse, .
D'où, .
Par définition, celà se traduit par, .
D'où,
Est ce que c'est ça ?

[GBZM]

Par exemple. Tu peux même montrer que à partir d'un certain rang.

[Anonyme007]

Par exemple. Tu peux même montrer que à partir d'un certain rang.

Comment peut-on le montrer GBZM ? C'est un peu délicat cette fois ci il me semble.

[GBZM]

Toujours à partir de la définition de limite, en utilisant . Rien de sorcier !

[Anonyme007]

D’accord. Alors, si , il est évident que, .
C'est à dire,
C'est à dire que,
Par définition, cela se traduit par,

C'est à dire que,

Est ce que c'est ça ?

[GBZM]

Il y a un supérieur ou égal qui devrait être un strictement supérieur.

[albanxiii]

Est ce que c'est ça ?

Ça n'est pas très académique comme façon de faire.
Il me semble plus rigoureux d'utiliser la croissance de la suite ainsi que la définition de la limite ("avec des ").

[GBZM]

Pas besoin d'utiliser la croissance une fois qu'on a .

[Anonyme007]

Ça n'est pas très académique comme façon de faire.
Il me semble plus rigoureux d'utiliser la croissance de la suite ainsi que la définition de la limite ("avec des ").

D’accord. Alors, par hypothèse, .
D'où,
Celà implique que,
C'est à dire,
C'est à dire,
En particulier,
En faisant tendre , on a, ( CQFD ) .

Est ce que c'est ça ?

[MissJenny]

est-ce que l'hypothèse n'est pas plutôt que G est la réunion des Gn ? parce que si tu pars du fait que lambda(G) est la limite des lamba(Gn) il n'y a plus rien à démontrer...

[GBZM]

, n'est pas une hypothèse, mais la conséquence immédiate de l'hypothèse que est la réunion de la suite croissante des (propriété de continuité de la mesure).

Anonyme007, tu te fais vraiement des noeuds dans la tête !
Ma remarque précédente, c'est que si tu écris (avec une inégalité large), tu ne peux pas en déduire que est plus grand que à partir d'un certain rang.
Tu as bien écrit que pour tout on a à partir d'un certain rang.
Vraiment, tu ne vois pas quel prendre pour conclure que à partir d'un certain rang ?

[MissJenny]

, n'est pas une hypothèse, mais la conséquence immédiate de l'hypothèse que est la réunion de la suite croissante des (propriété de continuité de la mesure).

oui mais c'est justement la partie un peu intéressante à démontrer. Le reste me paraît trivial.

[GBZM]

Visiblement Anonyme007 a des difficultés avec le reste, pour formuler un raisonnement qui ne soit pas un raisonnement par l'absurde par exemple. Et aussi pour en déduire que à partir d'un certain rang.

[Anonyme007]

Tu as bien écrit que pour tout on a à partir d'un certain rang.
Vraiment, tu ne vois pas quel prendre pour conclure que à partir d'un certain rang ?

Oui, bien sûr. Si on prend , alors, devient , c’est à dire, ( CQFD )