Systeme d'equations

**legyptien** · 28/09/2023, 17h41

Bonjour

Je suis pas un crack en math mais j'ai un systeme d'equations que je ne sais pas resoudre sur papier et je ne suis meme pas sur qu'il y a une solution analytique. Je suis preneur pour une methode numerique aussi (Tout logiciel gratuit est la bienvenue, j'ai aussi Matlab sur mon pc).

C'est un systeme de 3 equations a 3 inconnus que j'appelle X, Y, Z.
on a un truc du style :

a1*X²Y²Z²+b1*X²Y²Z+...h1*XYZ=0
a2*X²Y²Z²+b2*X²Y²Z+...h2*XYZ=0
a3*X²Y²Z²+b3*X²Y²Z+...h3*XYZ=0

avec a1, b1, c1, d1, e1, f1, g1, h1 des reels.
avec a2, b2, c2, d2, e2, f2, g2, h2 des reels.
avec a3, b3, c3, d3, e3, f3, g3, h3 des reels.

Le systeme est pas aussi propre mais si je passe du temps a developper et arranger je pense tomber sur ca mais c'est tres compliquer !! Je pense utiliser un logiciel de calcul formel pour ordonner et obtenir un tel systeme ensuite on verra la resultion (mathematica ou autre).

Merci !

**legyptien** · 28/09/2023, 20h31

c est bon j'ai le code python pour resoudre un systeme d equations non lineaire qui tourne bien. Il faut que je developpe et j'ordonne..

**amineyasmine** · 28/09/2023, 22h43

bonjour
on commence par diviser par XYZ et on verra

nota : x, y et z sont non nul

**Deedee81** · 29/09/2023, 08h08

Salut,

Envoyé par amineyasmine

on commence par diviser par XYZ et on verra

C'est de bon sens.... mais c'est pas sûr que ça marche car ce n'est pas le système qu'il a rencontré (il dit bien "un truc du style" et "pas aussi propre").

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pm42** · 29/09/2023, 08h14

Envoyé par Deedee81

C'est de bon sens.... mais c'est pas sûr que ça marche car ce n'est pas le système qu'il a rencontré (il dit bien "un truc du style" et "pas aussi propre").

Oui : dans l'exemple qu'il donne, on a des puissances 1 et 2 pour X, Y et Z. Il suffit qu'il y ait une puissance 0 pour l'un d'eux au moins et c'est fini.

**legyptien** · 02/10/2023, 18h18

Merci pour vos réponses. Deedee a raison. Je sais pas si je peux partager un code Sagemath (python based) ici car c'est un forum de math mais au pire vous pouvez supprimer

. Le code ne résous pas, j'ai changer les valeurs initiales et le solver (Newton, Newton modifie, 'bisect') mais pas d'amelioration.

S11=0 equ1
S22=0 equ2

Dimmer_37gUbUbKNh.png

Dimmer_I8KyNjzdWR.png

Dimmer_ntdPBoqYx7.png

Mon code est le suivant:

Code:

#Equation finale non lineaire
#ne converge pas a cause des valeurs de depart des inconnus ou du solver utiliser

from sympy import symbols, Eq, nsolve, pi

# Définir les entrées
F1 = 915 * 10**6
F2 = 1830 * 10**6
W1 = 2 * pi * F1
W2 = 2 * pi * F2
Z = 580

# Définir les variables symboliques (associées à un anneau symbolique)
C0, L1, C2 = symbols('C0 L1 C2')

# Définir les équations
eq1 = Eq(((1 - L1 * C2 * W1**2) - (1 - L1 * C0 * W1**2))**2 + ((L1 * W1**2) / Z - (C0 * W1**2 * (1 - L1 * C2 * W1**2) + C2 * W1**2) * Z)**2, 0)
eq2 = Eq(((1 - L1 * C0 * W2**2) - (1 - L1 * C2 * W2**2))**2 + ((L1 * W2**2) / Z - (C0 * W2**2 * (1 - L1 * C2 * W2**2) + C2 * W2**2) * Z)**2, 0)
eq3 = Eq(((L1 * W1) / Z + (C0 * W1 * (1 - L1 * C2 * W1**2) + C2 * W1) * Z) / ((1 - L1 * C2 * W1**2) + (1 - L1 * C0 * W1**2)) - ((L1 * W2) / Z + (C0 * W2 * (1 - L1 * C2 * W2**2) + C2 * W2) * Z) / ((1 - L1 * C2 * W2**2) + (1 - L1 * C0 * W2**2)), 0)


# Résoudre les équations symboliquement
solutions = nsolve((eq1, eq2, eq3), (C0, L1, C2), (1e-12, 103e-9, 1e-12), solver='mnewton')

# Afficher le résultat
print("Solutions symboliques:", solutions)

Toute aide serait la bienvenue...
Merci

**GBZM** · 02/10/2023, 18h41

Bonsoir,
Ce n'est pas vraiment du SageMath.
SageMath a des outils de calcul formel pour traiter les systèmes polynomiaux, utilisant essentiellement les bases de Groebner.

**legyptien** · 02/10/2023, 20h40

Salut

J'ai installer Sagemath et lancer sur jupyter (Kernel: Sagemath 9.3) pour effectivement faire du calcul formel et avoir une expression "propre" arranger ordonnee quoi. J'utilise aussi sagemath pour la resolution de systeme d'equation.

**Biname** · 02/10/2023, 21h10

Salut,
Re #6
Ton code est un code Python probablement généré par une IA, GPT ?.
Son exécution renvoie une erreur :

Code:

ZeroDivisionError: matrix is numerically singular

En passant le code et l'erreur à GPT, il répond ceci :

Cliquez pour afficher

L'erreur "ZeroDivisionError: matrix is numerically singular" indique que le système d'équations que vous essayez de résoudre numériquement est numériquement singulier, ce qui signifie que la matrice associée au système est singulière, c'est-à-dire qu'elle n'est pas inversible. Cela peut se produire lorsque certaines des équations sont linéairement dépendantes ou que les équations sont mal conditionnées.

Pour résoudre ce problème, voici quelques étapes que vous pouvez suivre :

Vérifiez les équations : Assurez-vous que les équations que vous essayez de résoudre sont correctes. Des erreurs dans les équations peuvent conduire à une singularité numérique.

Supprimez les équations redondantes : Si certaines de vos équations sont linéairement dépendantes des autres, vous pouvez essayer de les supprimer pour réduire la complexité du système. Assurez-vous de conserver suffisamment d'équations pour obtenir une solution unique.

Améliorez les conditions initiales : Essayez de fournir des valeurs de départ plus raisonnables pour les inconnues. Des valeurs de départ incorrectes ou très éloignées de la solution peuvent entraîner une singularité numérique. Vous pouvez essayer d'obtenir des estimations plus précises des inconnues si possible.

Utilisez un autre solveur : Essayez différents solveurs numériques disponibles dans SymPy ou d'autres bibliothèques mathématiques, tels que SciPy. Parfois, un solveur différent peut mieux gérer la singularité numérique.

Stabilisation numérique : Si votre système est mal conditionné, vous pourriez envisager d'appliquer des techniques de stabilisation numérique pour améliorer la convergence. Cela peut inclure la régularisation des équations ou l'utilisation de méthodes itératives plus avancées.

Réduisez la complexité du modèle : Si le système est très complexe, vous pourriez envisager de réduire la complexité du modèle en simplifiant les équations ou en utilisant des approximations pour rendre le problème plus gérable.

Si vous avez des informations spécifiques sur les équations que vous essayez de résoudre ou sur le contexte de votre problème, n'hésitez pas à les partager, et je pourrais être en mesure de vous fournir des conseils plus précis pour résoudre la singularité numérique.

Ces équations correspondent à un circuit électrique ?

Biname

**GBZM** · 02/10/2023, 21h44

Ce que tu fais n'est absolument pas du calcul formel.
Petit problème : tes polynômes sont en fait des fractions rationnelles.

**legyptien** · 02/10/2023, 21h53

Envoyé par Biname

Salut,
Re #6
Ton code est un code Python probablement généré par une IA, GPT ?.
Son exécution renvoie une erreur :

Code:

ZeroDivisionError: matrix is numerically singular

En passant le code et l'erreur à GPT, il répond ceci :

Cliquez pour afficher

L'erreur "ZeroDivisionError: matrix is numerically singular" indique que le système d'équations que vous essayez de résoudre numériquement est numériquement singulier, ce qui signifie que la matrice associée au système est singulière, c'est-à-dire qu'elle n'est pas inversible. Cela peut se produire lorsque certaines des équations sont linéairement dépendantes ou que les équations sont mal conditionnées.

Pour résoudre ce problème, voici quelques étapes que vous pouvez suivre :

Vérifiez les équations : Assurez-vous que les équations que vous essayez de résoudre sont correctes. Des erreurs dans les équations peuvent conduire à une singularité numérique.

Supprimez les équations redondantes : Si certaines de vos équations sont linéairement dépendantes des autres, vous pouvez essayer de les supprimer pour réduire la complexité du système. Assurez-vous de conserver suffisamment d'équations pour obtenir une solution unique.

Améliorez les conditions initiales : Essayez de fournir des valeurs de départ plus raisonnables pour les inconnues. Des valeurs de départ incorrectes ou très éloignées de la solution peuvent entraîner une singularité numérique. Vous pouvez essayer d'obtenir des estimations plus précises des inconnues si possible.

Utilisez un autre solveur : Essayez différents solveurs numériques disponibles dans SymPy ou d'autres bibliothèques mathématiques, tels que SciPy. Parfois, un solveur différent peut mieux gérer la singularité numérique.

Stabilisation numérique : Si votre système est mal conditionné, vous pourriez envisager d'appliquer des techniques de stabilisation numérique pour améliorer la convergence. Cela peut inclure la régularisation des équations ou l'utilisation de méthodes itératives plus avancées.

Réduisez la complexité du modèle : Si le système est très complexe, vous pourriez envisager de réduire la complexité du modèle en simplifiant les équations ou en utilisant des approximations pour rendre le problème plus gérable.

Si vous avez des informations spécifiques sur les équations que vous essayez de résoudre ou sur le contexte de votre problème, n'hésitez pas à les partager, et je pourrais être en mesure de vous fournir des conseils plus précis pour résoudre la singularité numérique.

Ces équations correspondent à un circuit électrique ?

Biname

Mon code est tres simple. Je te propose de bien le regarder...(il y en fait une seule ligne de code du solve, le reste est juste des definitions). J ai pas besoin d une IA pour ca.

Ce qui est un peu compliquer est l etablissement des equations et je n ai absolument aucun doute sur le developpement theorique.

Au lieu de resoudre numeriquement le systeme j'ai utiliser ma cervelle en regardant les equations et les symetries. Je viens de prouver qu'il ne peut y avoir de solution vu les contraintes.

**legyptien** · 02/10/2023, 21h56

Envoyé par GBZM

Ce que tu fais n'est absolument pas du calcul formel.

Tu es perspicace...

Envoyé par legyptien

J'utilise aussi sagemath pour la resolution de systeme d'equation.

**pm42** · 02/10/2023, 21h59

Envoyé par legyptien

Mon code est tres simple. Je te propose de bien le regarder...(il y en fait une seule ligne de code du solve, le reste est juste des definitions). J ai pas besoin d une IA pour ca.

Peut-être mais cela ne répond pas à la remarque pertinente de Biname : ton code fait une ZeroDivisionError.

Envoyé par legyptien

Au lieu de resoudre numeriquement le systeme j'ai utiliser ma cervelle en regardant les equations et les symetries.

Pourquoi est ce que ton code résoud numériquement alors ? C'est exactement ce que fais nsolve.

Envoyé par legyptien

Je viens de prouver qu'il ne peut y avoir de solution vu les contraintes.

En quoi avoir un code numérique qui ne tourne pas prouve quoi que ce soit ?

**GBZM** · 03/10/2023, 16h10

Voici un véritable traitement du système d'équation par le calcul formel, dans SageMath.

On introduit l'anneau A dans lequel on travaille. On considère PI comme paramètre, et on a comme indéterminées CO, C2, L1.

Code:

R.<PI>=QQ[]
F=Frac(R)
A.<C0,C2,L1>=PolynomialRing(F,"C0,C2,L1",order="lex")
A

Multivariate Polynomial Ring in C0, C2, L1 over Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in PI over Rational Field

On écrit les équations.

Code:

F1 = 915 * 10**6
F2 = 1830 * 10**6
W1 = 2 * PI * F1
W2 = 2 * PI * F2
Z = 580

eq1 =((1 - L1 * C2 * W1**2) - (1 - L1 * C0 * W1**2))**2 +\
((L1 * W1**2) / Z - (C0 * W1**2 * (1 - L1 * C2 * W1**2) +\
C2 * W1**2) * Z)**2
eq2 = ((1 - L1 * C0 * W2**2) - (1 - L1 * C2 * W2**2))**2 +\
((L1 * W2**2) / Z - (C0 * W2**2 * (1 - L1 * C2 * W2**2) + \
                     C2 * W2**2) * Z)**2
eq3 = ((L1 * W1) / Z + (C0 * W1 * (1 - L1 * C2 * W1**2) + \
                        C2 * W1) * Z) / ((1 - L1 * C2 * W1**2) + \
                                         (1 - L1 * C0 * W1**2)) - \
((L1 * W2) / Z + (C0 * W2 * (1 - L1 * C2 * W2**2) + C2 * W2) * Z) \
/ ((1 - L1 * C2 * W2**2) + (1 - L1 * C0 * W2**2))

Ensuite, on fabrique l'idéal engendré par les équations. Plus exactement comme la troisième équation est en fait une fraction rationnelle, on prend son numérateur. On fait calculer une base de Goebner de cet idéal.

Code:

J=A.ideal([eq1,eq2,numerator(eq3)])
GB=J.groebner_basis()

On regarde comment est fichue cette base de Groebner.

Code:

print("nombre de polynômes de la base de Goebner :", len(GB))
print("indéterminées de ces polynômes :",[P.variables() for P in GB])
print("degrés des polynômes en ces indéterminées :",\
      [P.degrees() for P in GB])

nombre de polynômes de la base de Goebner : 3
indéterminées de ces polynômes : [(C0, C2, L1), (C2, L1), (L1,)]
degrés des polynômes en ces indéterminées : [(1, 2, 13), (0, 2, 13), (0, 0, 14)]

Le dernier polynôme de la base de Goebner est un polynôme de degré 14 en L1 uniquement. Il se factorise sur $\text{[math]}$ .

Code:

LF=list(factor(GB[-1]))
LF

[(L1, 2),
(L1^2 + 1345600, 1),
((2803782802500000000000000000 0000000*PI^4)*L1^4 + (5632849800000000000000*PI^2 + 841)*L1^2 + 282912400,
1),
((2934246321028828125000000000 000000000000000000000*PI^6 + 389414278125000000000000000000 0*PI^4)*L1^6 + (35534896646187520125000000000 000000000000000000000000000*PI ^6 - 530545800803062500000000000000 0000000*PI^4 + 11197244828125000000*PI^2)*L1^ 4 + (71390242956060090000000000000 00000000000000*PI^4 + 18386361058736250000000000*PI^ 2 + 2121843)*L1^2 + (35856068754544200000000000000 0*PI^2 - 428272791120),
1)]

On peut trouver les racines de ce polynôme, les reporter dans le deuxième polynôme de la base de Groebner (qui est du second degré en C2) pour trouver C2, puis reporter ça dans le premier polynôme (du premier degré en C0) pour avoir C0.

**Biname** · 03/10/2023, 19h26

Salut,
De quelle matrice me parlait sympy de Python ?

Ceci n'est peut-être pas inutile :

Equation 1 :

$\text{[math]}$

Equation 2 :

$\text{[math]}$

Equation 3 :

$\text{[math]}$

Sauf erreurs, merci GPT,

Biname

**GBZM** · 05/10/2023, 08h37

Pour revenir sur le traitement "Calcul formel" du système. L'ensemble des solutions du système est de dimension 1 ; précisément, il a une composante de dimension 1 contenue dans le plan $\text{[math]}$ . On peut saturer l'idéal engendré par les équations par rapport à $\text{[math]}$ , ce qui a pour effet d'éliminer cette composante. On trouve alors un système de dimension 0, avec un nombre fini de solutions. En remplaçant $\text{[math]}$ par le rationnel 3141592/10**6, on trouve 24 solutions dont aucune n'est réelle (ne pas trop faire attention à la pléthore de décimales, il s'agit en fait de nombres algébriques).
[{L1: -1160*I, C2: 0, C0: 0.003448275862068966?*I},
{L1: 1160*I, C2: 0, C0: -0.003448275862068966?*I},
{L1: -1160*I, C2: 0.003448275862068966?*I, C0: 0},
{L1: 1160*I, C2: -0.003448275862068966?*I, C0: 0},
{L1: -1.008851215364525?e-7*I, C2: -2.998963184271835?e-13*I, C0: 0},
{L1: -1.0088512151890451?e-7*I, C2: -2.998963184793474?e-13*I, C0: 0},
{L1: 1.0088512151890451?e-7*I, C2: 2.998963184793474?e-13*I, C0: 0},
{L1: 1.008851215364525?e-7*I, C2: 2.998963184271835?e-13*I, C0: 0},
{L1: -1.008851215364525?e-7*I, C2: 0, C0: -2.998963184271835?e-13*I},
{L1: -1.0088512151890451?e-7*I, C2: 0, C0: -2.998963184793474?e-13*I},
{L1: 1.0088512151890451?e-7*I, C2: 0, C0: 2.998963184793474?e-13*I},
{L1: 1.008851215364525?e-7*I, C2: 0, C0: 2.998963184271835?e-13*I},
{L1: -3480.000000000000?*I, C2: 3.477595003777132?e-23*I, C0: 0.001149425287356322?*I},
{L1: -3480.000000000000?*I, C2: 0.001149425287356322?*I, C0: 3.477595003777132?e-23*I},
{L1: -1.0088512156862369?e-7*I, C2: -2.998963184532654?e-13*I, C0: -3.477595003373871?e-23*I},
{L1: -1.0088512156862369?e-7*I, C2: -3.477595003373871?e-23*I, C0: -2.998963184532654?e-13*I},
{L1: -1.008851214867333?e-7*I, C2: -2.998963184532654?e-13*I, C0: 3.477595004180394?e-23*I},
{L1: -1.008851214867333?e-7*I, C2: 3.477595004180394?e-23*I, C0: -2.998963184532654?e-13*I},
{L1: 1.008851214867333?e-7*I, C2: -3.477595004180394?e-23*I, C0: 2.998963184532654?e-13*I},
{L1: 1.008851214867333?e-7*I, C2: 2.998963184532654?e-13*I, C0: -3.477595004180394?e-23*I},
{L1: 1.0088512156862369?e-7*I, C2: 3.477595003373871?e-23*I, C0: 2.998963184532654?e-13*I},
{L1: 1.0088512156862369?e-7*I, C2: 2.998963184532654?e-13*I, C0: 3.477595003373871?e-23*I},
{L1: 3480.000000000000?*I, C2: -0.001149425287356322?*I, C0: -3.477595003777132?e-23*I},
{L1: 3480.000000000000?*I, C2: -3.477595003777132?e-23*I, C0: -0.001149425287356322?*I}]

**GBZM** · 05/10/2023, 10h36

La question se pose donc : d'où sort ce système d'équations, qu'est-il censé modéliser ?
Si des solutions réelles étaient attendues, c'est raté, mis à part le cas $\text{[math]}$ où il y a une infinité de solutions.

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