Gradient d'un vecteur/ gradient d'un tenseur d'ordre 2

[Antharess]

Bonjour ma question est plutôt simple.
J'ai appris en maths que le gradient d'un vecteur donne cette matrice :


Ma question est la suivante : quelle est la démonstration pour l'obtenir ?
car j'ai essayé de la retrouver en faisant une multiplication comme pour les matrices, donc grad fois u, mais en appliquant les règles mathématiques liées à la multiplication de matrice je n'obtiens pas le résultat.

Est-ce que ma question est claire, et si oui est-ce que quelqu'un peut me l'expliquer simplement ? (une démonstration papier/ord sera plus simple qu'un texte je pense).

Merci beaucoup
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[Deedee81]

Salut,

Ma question est la suivante : quelle est la démonstration pour l'obtenir ?

Suffit de détailler les composantes de grad et de u, et on a des termes comme dans la matrice.

car j'ai essayé de la retrouver en faisant une multiplication comme pour les matrices, donc grad fois u, mais en appliquant les règles mathématiques liées à la multiplication de matrice je n'obtiens pas le résultat.

C'est la multiplication d'un vecteur ligne par un vecteur colonne, ça aurait dû marcher.

[Antharess]

Bonjour, cela donne ça : (corrigez vous si je me trompe)

IMG_7935.jpg
Si on fait comme vous dites (ligne x colonne) cela donne une matrice (1,1)

[Deedee81]

Arg, oui, j'avais inversé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,


Pour avoir le gradient, ce n'est pas une multiplication matricielle qu'il faut faire, mais un produit tensoriel : le vecteur u est un vecteur colonne ( contravariant, dans le langage des tenseurs), et l'opérateur gradient est covariant (en ligne)
Et l'ordre des composantes sera bien celui de la pièce jointe.
En appliquant une multiplication matricielle, on obtiendra un scalaire : c'est la divergence.

Plus généralement, le gradient augmente de 1 la dimension du tenseur, et la divergence la réduit de 1